#3#20/2 - Os raios interno e externo de um cilindro oco são 5 cm e 10 cm , respectivamente, a superfície interna é mantida a 300^{\circ} \mathrm{C}, e a superfície externa, a 100 { }^{\circ} \mathrm{C}. A condutividade térmica varia com a temperatura no intervalo de 100^{\circ} \mathrm{C}<\mathrm{T}<300 { }^{\circ} \mathrm{C} conforme a expressão \mathrm{k}(\mathrm{T})=0,5\left(1+10^{-3} \mathrm{~T}\right), sendo T em graus Celsius e k em \mathrm{W} /(\mathrm{mK}). Determine a taxa de transferência de calor no sentido radial, \stackrel{e}{\mathrm{e}} \mathrm{c} onsiderando que a temperatura T vale 120^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa clara:
  • Raios interno e externo: r_i=5\\ \mathrm{cm} e r_o=10\\ \mathrm{cm}.
  • Temperatura da superfície interna: T_i=300^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura da superfície externa: T_o=100^\circ\mathrm{C}.
  • Condutividade térmica dependente da temperatura: k(T)=0{,}5\bigl(1+10^{-3}T\bigr) (com T em ^\circ\mathrm{C} e k em \mathrm{W/(mK)}).
  • O enunciado diz: considerar que a temperatura vale T=120^\circ\mathrm{C}.
O que é pedido: determinar a taxa de transferência de calor no sentido radial (isto é, o fluxo térmico radial através do cilindro oco).
Observação importante (presente no enunciado): foi dado o valor de T para avaliar k em 120^\circ\mathrm{C}. O problema não informa o comprimento do cilindro; portanto vou calcular a taxa de transferência por unidade de comprimento (por 1\\ \mathrm{m} de comprimento), que é o procedimento padrão nesses problemas quando o comprimento não é informado.

Passo 2

Decisão do método (explicando por que escolhi assim):
O enunciado não exige um método especial. Para um cilindro oco em regime estacionário, sem geração interna, o fluxo radial q é constante com r. Se tomarmos k constante (ou seja, avaliá-lo no valor dado T=120^\circ\mathrm{C} e usar esse k como aproximado constante), podemos usar a forma conhecida da lei de Fourier para condução radial em cilindros e obter uma fórmula direta e simples para o fluxo por unidade de comprimento. Esta é a escolha natural porque o enunciado explicitamente pede para considerar T=120^\circ\mathrm{C} (logo nos indica avaliar k naquele valor). Se quiséssemos tratar k exatamente variando com T(r), teríamos que resolver uma equação diferencial não-linear (explico brevemente no final como seria), o que não parece ser solicitado aqui.

Passo 3

Derivação da fórmula para condução radial (aula rápida e didática):
  • Começamos da lei de Fourier no sentido radial para um anel cilíndrico de comprimento L: o fluxo de calor através da área lateral de raio r é
\dot{Q} = -k\,A_r\,\frac{dT}{dr}.
  • Aqui \dot{Q} é a potência (taxa de transferência de calor) em \mathrm{W}, k é a condutividade térmica em \mathrm{W/(mK)}, A_r é a área através da qual o calor passa (para um cilindro é a área lateral do anel), e dT/dr é o gradiente radial de temperatura. A área lateral de um cilindro de raio r e comprimento L é
A_r = 2\pi r L.
  • Substituindo,
\dot{Q} = -k\,2\pi r L\,\frac{dT}{dr}.
  • Em regime estacionário \dot{Q} independe de r, então podemos separar variáveis e integrar entre r_i (onde T=T_i) e r_o (onde T=T_o). Reescrevendo e separando:
\frac{\dot{Q}}{2\pi k L}\,\frac{dr}{r} = -\,dT.
  • Integrando de r_i até r_o do lado esquerdo e de T_i até T_o do lado direito:
\int_{r_i}^{r_o}\frac{dr}{r} \;=\; -\frac{2\pi k L}{\dot{Q}}\int_{T_i}^{T_o} dT.
  • A integral de dr/r \ln(r_o/r_i) e a integral de dT T_o-T_i. Resolvendo para \dot{Q} obtemos a expressão padrão:
\dot{Q} \;=\; \frac{2\pi k L\,(T_i-T_o)}{\ln\!\bigl(r_o/r_i\bigr)}.
  • Observações sobre sinais: eu escrevi (T_i-T_o) para obter um valor positivo quando T_i>T_o. A expressão dá a magnitude do fluxo de calor do interior para o exterior.

Passo 4

Avaliação de k no ponto pedido T=120^\circ\mathrm{C} (conta passo a passo):
A função dada é k(T)=0{,}5\bigl(1+10^{-3}T\bigr). Substituindo T=120^\circ\mathrm{C}:
k(120)=0{,}5\bigl(1+10^{-3}\cdot 120\bigr).
Calculemos:
10^{-3}\cdot 120 = 0{,}120,
1+0{,}120 = 1{,}120,
k(120)=0{,}5\times 1{,}120 = 0{,}560\\ \mathrm{W/(mK)}.

Passo 5

Conversão de unidades e cálculo dos termos numéricos:
  • Converter raios para metros (toda conta em sistema SI):
r_i = 5\\ \mathrm{cm} = 0{,}05\\ \mathrm{m},\qquad r_o = 10\\ \mathrm{cm} = 0{,}10\\ \mathrm{m}.
  • Diferença de temperatura:
T_i-T_o = 300^\circ\mathrm{C}-100^\circ\mathrm{C} = 200^\circ\mathrm{C}.
(Lembre: diferença de temperatura em Celsius é numericamente igual à diferença em Kelvin, então está tudo ok para usar na fórmula.)
  • Tomando L=1\\ \mathrm{m} (por unidade de comprimento), a fórmula do passo 3 fica
\dot{Q}'=\frac{2\pi k (T_i-T_o)}{\ln(r_o/r_i)},
onde \dot{Q}' é a potência por metro de comprimento ( \mathrm{W/m}).

Passo 6

Substituição numérica e contas finais (mostrar cálculos de forma que dê pra fazer sem calculadora se precisar):
Substituindo k=0{,}560\\ \mathrm{W/(mK)}, T_i-T_o=200, r_o/r_i=0{,}10/0{,}05=2:
\dot{Q}'=\frac{2\pi\cdot 0{,}560\cdot 200}{\ln 2}.
Calcule passo a passo:
0{,}560\times 200 = 112,
2\pi \times 112 = 224\pi \approx 224\times 3{,}14159 \approx 703{,}716,
\ln 2 \approx 0{,}693147.
Dividindo:
\dot{Q}' \approx \frac{703{,}716}{0{,}693147} \approx 1015{,}1\\ \mathrm{W/m}.

Passo 7

Interpretação, verificação e comentário final de didática:
  • Resultado: aproximadamente 1015{,}1\\ \mathrm{W} por metro de comprimento, do interior para o exterior.
  • Validação rápida: ordem de grandeza razoável para um cilindro de condutividade moderada e diferença de 200^\circ\mathrm{C}.
  • Observação sobre a hipótese feita: tomamos k constante igual a k(120^\circ\mathrm{C}). Se quiséssemos tratar exatamente a variação k(T) com T(r), teríamos que resolver a equação
\dot{Q} = -2\pi r L\,k(T)\,\frac{dT}{dr}
com k(T)=0{,}5(1+10^{-3}T), o que implica separar variáveis e integrar \int \frac{dr}{r} = -\frac{2\pi L}{\dot{Q}}\int k(T)\,dT — isto leva a integrar k(T) em T e resolver para \dot{Q}. Esse procedimento dá uma equação que relaciona \dot{Q} e \ln(r_o/r_i) através de uma integral em T; é perfeitamente possível, mas envolve manipulação algébrica um pouco mais trabalhosa e normalmente não é pedido quando o enunciado já dá um T para avaliação de k.
Força aí — você já tem a fórmula pronta para usar em outros exercícios semelhantes!

Resposta

\dot{Q}' \approx 1015{,}1\\ \mathrm{W/m}

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