#3#20/2 - Os raios interno e externo de um cilindro oco são 5 cm e 10 cm , respectivamente, a superfície interna é mantida a
, e a superfície externa, a 100
. A condutividade térmica varia com a temperatura no intervalo de
conforme a expressão
, sendo T em graus Celsius e k em
. Determine a taxa de transferência de calor no sentido radial,
onsiderando que a temperatura T vale
.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa clara:
- Raios interno e externo:
e . - Temperatura da superfície interna:
. - Temperatura da superfície externa:
. - Condutividade térmica dependente da temperatura:
(com em e em ). - O enunciado diz: considerar que a temperatura vale
.
O que é pedido: determinar a taxa de transferência de calor no sentido radial (isto é, o fluxo térmico radial através do cilindro oco).
Observação importante (presente no enunciado): foi dado o valor de para avaliar
em
. O problema não informa o comprimento do cilindro; portanto vou calcular a taxa de transferência por unidade de comprimento (por
de comprimento), que é o procedimento padrão nesses problemas quando o comprimento não é informado.
Observação importante (presente no enunciado): foi dado o valor de
Passo 2
Decisão do método (explicando por que escolhi assim):
O enunciado não exige um método especial. Para um cilindro oco em regime estacionário, sem geração interna, o fluxo radial é constante com
. Se tomarmos
constante (ou seja, avaliá-lo no valor dado
e usar esse
como aproximado constante), podemos usar a forma conhecida da lei de Fourier para condução radial em cilindros e obter uma fórmula direta e simples para o fluxo por unidade de comprimento. Esta é a escolha natural porque o enunciado explicitamente pede para considerar
(logo nos indica avaliar
naquele valor). Se quiséssemos tratar
exatamente variando com
, teríamos que resolver uma equação diferencial não-linear (explico brevemente no final como seria), o que não parece ser solicitado aqui.
O enunciado não exige um método especial. Para um cilindro oco em regime estacionário, sem geração interna, o fluxo radial
Passo 3
Derivação da fórmula para condução radial (aula rápida e didática):
- Começamos da lei de Fourier no sentido radial para um anel cilíndrico de comprimento
: o fluxo de calor através da área lateral de raio é
- Aqui
é a potência (taxa de transferência de calor) em , é a condutividade térmica em , é a área através da qual o calor passa (para um cilindro é a área lateral do anel), e é o gradiente radial de temperatura. A área lateral de um cilindro de raio e comprimento é
- Substituindo,
- Em regime estacionário
independe de , então podemos separar variáveis e integrar entre (onde ) e (onde ). Reescrevendo e separando:
- Integrando de
até do lado esquerdo e de até do lado direito:
- A integral de
dá e a integral de dá . Resolvendo para obtemos a expressão padrão:
- Observações sobre sinais: eu escrevi
para obter um valor positivo quando . A expressão dá a magnitude do fluxo de calor do interior para o exterior.
Passo 4
Avaliação de
no ponto pedido
(conta passo a passo):
A função dada é . Substituindo
:
A função dada é
Calculemos:
Passo 5
Conversão de unidades e cálculo dos termos numéricos:
- Converter raios para metros (toda conta em sistema SI):
- Diferença de temperatura:
(Lembre: diferença de temperatura em Celsius é numericamente igual à diferença em Kelvin, então está tudo ok para usar na fórmula.)
- Tomando
(por unidade de comprimento), a fórmula do passo 3 fica
onde
é a potência por metro de comprimento (
).
Passo 6
Substituição numérica e contas finais (mostrar cálculos de forma que dê pra fazer sem calculadora se precisar):
Substituindo ,
,
:
Substituindo
Calcule passo a passo:
Dividindo:
Passo 7
Interpretação, verificação e comentário final de didática:
- Resultado: aproximadamente
por metro de comprimento, do interior para o exterior. - Validação rápida: ordem de grandeza razoável para um cilindro de condutividade moderada e diferença de
. - Observação sobre a hipótese feita: tomamos
constante igual a . Se quiséssemos tratar exatamente a variação com , teríamos que resolver a equação
com
, o que implica separar variáveis e integrar
— isto leva a integrar
em
e resolver para
. Esse procedimento dá uma equação que relaciona
e
através de uma integral em
; é perfeitamente possível, mas envolve manipulação algébrica um pouco mais trabalhosa e normalmente não é pedido quando o enunciado já dá um
para avaliação de
.
Força aí — você já tem a fórmula pronta para usar em outros exercícios semelhantes!