(20,0) A região limitada pelo gráfico de y=x \sqrt{\operatorname{sen} x} e o eixo x de x=0 a x=\frac{\pi}{2} gira em torno do eixo x . Determine o volume do sólido resultante.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, da região limitada pelo gráfico de y = x \sqrt{\operatorname{sen} x} e o eixo x, no intervalo x\in[0,\tfrac{\pi}{2}].
Informações importantes fornecidas:
  • A função é \;y = x \sqrt{\operatorname{sen} x}\; no intervalo \;0 \le x \le \tfrac{\pi}{2}.
  • O eixo de rotação é o eixo x.
  • Observação útil: em [0,\tfrac{\pi}{2}] temos \sin x \ge 0, então \sqrt{\sin x} está bem definida e \left(x\sqrt{\sin x}\right)^2 simplifica sem problemas.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): quando uma região limitada pelo gráfico de y=f(x) e pelo eixo x gira em torno do eixo x, o volume do sólido gerado pode ser calculado pelo método dos discos (ou “método das seções transversais circulares”). A fórmula é
V = \pi \int_{a}^{b} \big(f(x)\big)^2 \, dx,
onde \;[a,b]\; é o intervalo de x da região. Aqui cada seção perpendicular ao eixo x é um círculo de raio f(x), então a área é \pi [f(x)]^2; integrar dá o volume total.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso: f(x)=x\sqrt{\sin x} e a=0, b=\tfrac{\pi}{2}. Então
V = \pi \int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \big(x\sqrt{\sin x}\,\big)^2 \, dx.

Passo 4

Simplificando a integranda: \big(x\sqrt{\sin x}\big)^2 = x^2 (\sqrt{\sin x})^2 = x^2 \sin x. (Aqui usamos que \sin x\ge0 no intervalo, de modo que a igualdade é direta.)
Portanto o integral que devemos calcular é
V = \pi \int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} x^2 \sin x \, dx.

Passo 5

Agora vamos calcular a integral
I=\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} x^2 \sin x \, dx.
Usaremos integração por partes. Lembrete da fórmula de integração por partes (útil na prova): para funções u(x) e v(x),
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Aqui escolhemos, de forma prática, u=x^2 (que fica mais simples ao derivar) e dv=\sin x\,dx (que tem antiderivada simples).

Passo 6

Calculemos as quantidades:
  • u = x^2 \Rightarrow du = 2x\,dx.
  • dv = \sin x\,dx \Rightarrow v = -\cos x (pois \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x, então \int \sin x\,dx = -\cos x).
Aplicando integração por partes:
I = \big[ -x^2 \cos x \big]_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} (-\cos x)\,(2x)\,dx.
Simplificando o sinal:
I = \big[ -x^2 \cos x \big]_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} + 2\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} x\cos x \, dx.

Passo 7

Avaliaremos primeiro o termo de contorno \big[ -x^2 \cos x \big]_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}:
  • Em x=\tfrac{\pi}{2}: \cos\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=0, então -\big(\tfrac{\pi}{2}\big)^2\cdot 0 = 0.
  • Em x=0: -0^2\cdot\cos 0 = 0.

    Logo o termo de contorno é 0-0=0. Portanto
I = 2\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} x\cos x \, dx.

Passo 8

Precisamos agora calcular
J=\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} x\cos x \, dx.
Usamos novamente integração por partes. Escolhemos u=x e dv=\cos x\,dx.

Passo 9

Calculemos:
  • u = x \Rightarrow du = dx.
  • dv = \cos x\,dx \Rightarrow v = \sin x (pois \frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x).
Aplicando integração por partes:
J = \big[ x\sin x \big]_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \sin x \, dx.
Agora avaliamos cada parte.

Passo 10

Avaliação de \big[ x\sin x \big]_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}:
  • Em x=\tfrac{\pi}{2}: x\sin x = \tfrac{\pi}{2}\cdot 1 = \tfrac{\pi}{2}.
  • Em x=0: 0\cdot 0 = 0.

    Logo \big[ x\sin x \big]_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} = \tfrac{\pi}{2}.
Agora \int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \sin x \, dx = \big[-\cos x\big]_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} = -\cos\big(\tfrac{\pi}{2}\big) - \big(-\cos 0\big) = 0 + 1 = 1.
Portanto
J = \tfrac{\pi}{2} - 1.

Passo 11

Voltando a I: lembrando que I = 2J, obtemos
I = 2\left(\tfrac{\pi}{2} - 1\right) = \pi - 2.

Passo 12

Finalmente, o volume é
V = \pi \cdot I = \pi(\pi - 2) = \pi^{2} - 2\pi.

Resposta

\pi^{2}-2\pi

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