A região limitada pelo gráfico de
e o eixo x de
a
gira em torno do eixo x . Determine o volume do sólido resultante.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, da região limitada pelo gráfico de
e o eixo
, no intervalo
.
Informações importantes fornecidas:
- A função é
no intervalo .
- O eixo de rotação é o eixo
.
- Observação útil: em
temos , então está bem definida e simplifica sem problemas.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática): quando uma região limitada pelo gráfico de
e pelo eixo
gira em torno do eixo
, o volume do sólido gerado pode ser calculado pelo método dos discos (ou “método das seções transversais circulares”). A fórmula é
onde
é o intervalo de
da região. Aqui cada seção perpendicular ao eixo
é um círculo de raio
, então a área é
; integrar dá o volume total.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso:
e
,
. Então
Passo 4
Simplificando a integranda:
. (Aqui usamos que
no intervalo, de modo que a igualdade é direta.)
Portanto o integral que devemos calcular é
Portanto o integral que devemos calcular é
Passo 5
Agora vamos calcular a integral
Usaremos integração por partes. Lembrete da fórmula de integração por partes (útil na prova): para funções
e
,
Aqui escolhemos, de forma prática,
(que fica mais simples ao derivar) e
(que tem antiderivada simples).
Passo 6
Calculemos as quantidades:
-
.
-
(pois , então ).
Aplicando integração por partes:
Simplificando o sinal:
Passo 7
Avaliaremos primeiro o termo de contorno
:
- Em
: , então .
- Em
: .
Logo o termo de contorno é. Portanto
Passo 8
Precisamos agora calcular
Usamos novamente integração por partes. Escolhemos
e
.
Passo 9
Calculemos:
-
.
-
(pois ).
Aplicando integração por partes:
Agora avaliamos cada parte.
Passo 10
Avaliação de
:
- Em
: .
- Em
: .
Logo.
Agora
Portanto
Passo 11
Voltando a
: lembrando que
, obtemos
Passo 12
Finalmente, o volume é