Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas: a função considerada é a exponencial
definida para todos os
. O que precisamos encontrar é o comportamento dessa função quando
cresce sem limite (isto é,
).
Passo 2
Primeiro vamos estudar o expoente
, porque o comportamento de
depende do que acontece no expoente. Reescrevo o expoente de forma que fique claro qual termo domina:
Isso é só álgebra: fatoramos
em comum.
Passo 3
Agora analiso o limite do fator que multiplica
. Quando
temos
Portanto o produto
tende a
, porque
e está sendo multiplicado por um número que tende a
. Em palavras: o termo quadrático
cresce muito mais rápido que o termo linear
, então o sinal negativo faz o expoente ir para
.
Passo 4
Lembrete importante sobre a função exponencial: se
então
. Uma forma de ver isso é escrever, para
,
e quando
temos
, logo o recíproco tende a
.
Aplicando isso ao nosso caso, como já vimos
, segue que
Passo 5
Vou dar uma versão ligeiramente mais rigorosa usando desigualdade (útil na prova): para
temos
. Assim para
,
Exponentiando (função
é crescente) obtemos, para
,
Como
, pelo Teorema do Confronto (squeeze) concluímos que