1. \lim _{x \rightarrow \infty} e^{x-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to\infty} e^{x - x^{2}}.
Informações dadas: a função considerada é a exponencial e^{x-x^{2}} definida para todos os x\in\mathbb{R}. O que precisamos encontrar é o comportamento dessa função quando x cresce sem limite (isto é, x\to\infty).

Passo 2

Primeiro vamos estudar o expoente x-x^{2}, porque o comportamento de e^{(\cdot)} depende do que acontece no expoente. Reescrevo o expoente de forma que fique claro qual termo domina:
x-x^{2} = -x^{2} + x = -x^{2}\!\left(1 - \frac{1}{x}\right).
Isso é só álgebra: fatoramos -x^{2} em comum.

Passo 3

Agora analiso o limite do fator que multiplica -x^{2}. Quando x\to\infty temos
1 - \frac{1}{x} \longrightarrow 1.
Portanto o produto -x^{2}\left(1-\dfrac{1}{x}\right) tende a -\infty, porque x^{2}\to\infty e está sendo multiplicado por um número que tende a 1>0. Em palavras: o termo quadrático \,x^{2}\, cresce muito mais rápido que o termo linear \,x, então o sinal negativo faz o expoente ir para -\infty.

Passo 4

Lembrete importante sobre a função exponencial: se t\to -\infty então e^{t}\to 0. Uma forma de ver isso é escrever, para t<0,
e^{t} = \frac{1}{e^{-t}}
e quando -t\to\infty temos e^{-t}\to\infty, logo o recíproco tende a 0.
Aplicando isso ao nosso caso, como já vimos x-x^{2}\to -\infty, segue que
e^{x-x^{2}} \longrightarrow 0.

Passo 5

Vou dar uma versão ligeiramente mais rigorosa usando desigualdade (útil na prova): para x\ge 2 temos 1-\dfrac{1}{x}\ge \dfrac{1}{2}. Assim para x\ge 2,
x-x^{2} = -x^{2}\left(1-\frac{1}{x}\right) \le -\frac{x^{2}}{2}.
Exponentiando (função e^{(\cdot)} é crescente) obtemos, para x\ge 2,
0 < e^{x-x^{2}} \le e^{-x^{2}/2}.
Como \lim_{x\to\infty} e^{-x^{2}/2} = 0, pelo Teorema do Confronto (squeeze) concluímos que
\lim_{x\to\infty} e^{x-x^{2}} = 0.

Resposta

0

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