Encontre o limite.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas:
(ou seja,
cresce sem limite) e a expressão é a diferença entre a raiz quadrada
e
.
O objetivo é calcular o limite dessa expressão quando tende a infinito.
O objetivo é calcular o limite dessa expressão quando
Passo 2
Identificar o tipo de indeterminação. À primeira vista, para
temos
e
, então a expressão é do tipo
, uma indeterminação. Nessas situações a estratégia é reescrever a expressão para obter algo que dê para avaliar o limite.
Passo 3
Usar o truque do conjugado (uma técnica padrão para remover a indeterminação
): multiplicar numerador e denominador pela soma conjugada
. Isso é válido porque estamos multiplicando por
. Assim,
No numerador surge uma diferença de quadrados, então
Passo 4
Para analisar o limite da fração obtida, é útil “fatorar”
dentro da raiz para trabalhar com quantidades que tendem a zero. Para
(e para
podemos considerar
positivo), temos
Isso é só usar
e para
grande positivo
.
Passo 5
Dividimos numerador e denominador da fração por
para obter termos que têm limites fáceis quando
. Partindo de
dividindo tudo por
obtemos
Aqui usei a expressão do passo anterior para a raiz e simplifiquei.
Passo 6
Agora aplicamos o limite
. Sabemos que
e
. A função
é contínua em
, então podemos substituir os limites dentro:
Passo 7
(Verificação alternativa rápida, para intuição) Podemos também desenvolver a raiz para ver o comportamento:
para
grande, então
. Isso confirma o resultado obtido de forma rigorosa.