Encontre o limite.
lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{x^{2}+4 x+1}-x\right)

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to\infty}\bigl(\sqrt{x^{2}+4x+1}-x\bigr).
Informações dadas:
\;x\to\infty (ou seja, x cresce sem limite) e a expressão é a diferença entre a raiz quadrada \sqrt{x^{2}+4x+1} e x.
O objetivo é calcular o limite dessa expressão quando x tende a infinito.

Passo 2

Identificar o tipo de indeterminação. À primeira vista, para x\to\infty temos
\sqrt{x^{2}+4x+1}\to\infty e x\to\infty, então a expressão é do tipo \infty-\infty, uma indeterminação. Nessas situações a estratégia é reescrever a expressão para obter algo que dê para avaliar o limite.

Passo 3

Usar o truque do conjugado (uma técnica padrão para remover a indeterminação \infty-\infty): multiplicar numerador e denominador pela soma conjugada \sqrt{x^{2}+4x+1}+x. Isso é válido porque estamos multiplicando por 1. Assim,
\sqrt{x^{2}+4x+1}-x = \frac{\bigl(\sqrt{x^{2}+4x+1}-x\bigr)\bigl(\sqrt{x^{2}+4x+1}+x\bigr)}{\sqrt{x^{2}+4x+1}+x}.
No numerador surge uma diferença de quadrados, então
\sqrt{x^{2}+4x+1}-x = \frac{x^{2}+4x+1 - x^{2}}{\sqrt{x^{2}+4x+1}+x} = \frac{4x+1}{\sqrt{x^{2}+4x+1}+x}.

Passo 4

Para analisar o limite da fração obtida, é útil “fatorar” x dentro da raiz para trabalhar com quantidades que tendem a zero. Para x>0 (e para x\to\infty podemos considerar x positivo), temos
\sqrt{x^{2}+4x+1} = x\sqrt{1+\frac{4}{x}+\frac{1}{x^{2}}}.
Isso é só usar \sqrt{x^{2}(1+\frac{4}{x}+\frac{1}{x^{2}})}=|x|\sqrt{\cdots} e para x grande positivo |x|=x.

Passo 5

Dividimos numerador e denominador da fração por x para obter termos que têm limites fáceis quando x\to\infty. Partindo de
\frac{4x+1}{\sqrt{x^{2}+4x+1}+x},
dividindo tudo por x obtemos
\frac{4+\frac{1}{x}}{\sqrt{1+\frac{4}{x}+\frac{1}{x^{2}}}+1}.
Aqui usei a expressão do passo anterior para a raiz e simplifiquei.

Passo 6

Agora aplicamos o limite x\to\infty. Sabemos que \frac{1}{x}\to0 e \frac{1}{x^{2}}\to0. A função \sqrt{\cdot} é contínua em 1, então podemos substituir os limites dentro:
\lim_{x\to\infty}\frac{4+\frac{1}{x}}{\sqrt{1+\frac{4}{x}+\frac{1}{x^{2}}}+1} = \frac{4+0}{\sqrt{1+0+0}+1} = \frac{4}{1+1} =2.

Passo 7

(Verificação alternativa rápida, para intuição) Podemos também desenvolver a raiz para ver o comportamento:
\sqrt{x^{2}+4x+1}=x\sqrt{1+\tfrac{4}{x}+\tfrac{1}{x^{2}}} \approx x\Bigl(1+\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{4}{x}\Bigr)=x+2,
para x grande, então \sqrt{x^{2}+4x+1}-x\approx2. Isso confirma o resultado obtido de forma rigorosa.

Resposta

2

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