20 Seis cargas iguais a q ocupam os vértices de um hexágono regular de lado a. Determine a energia eletrostática deste sistema de cargas.

Passo 1

Beleza, o exercício diz: “Seis cargas iguais a ficam nos vértices de um hexágono regular de lado . Determine a energia eletrostática total desse sistema.”
Conteúdo: energia potencial eletrostática de um conjunto de cargas pontuais.
Vamos usar a Lei de Coulomb para calcular a energia de interação de cada par de cargas e somar tudo.

Passo 2

Energia eletrostática de duas cargas pontuais Uij = 14pivarepsilon0,qi,qjrij e separadas por distância é
Como todas as cargas valem , teremos , com .

Passo 3

Precisamos listar todos os pares de vértices e suas distâncias:
  • Vértices vizinhos (aresta do hexágono): distância . Há 6 pares assim.
  • Vértices que “pulam” um vizinho (dois lados de distância): distância é o comprimento da diagonal menor, que vale . Também são 6 pares.
  • Vértices opostos (três lados de distância): distância é o diâmetro do hexágono, . Existem 3 pares.

Passo 4

A energia total é a soma sobre todos os 15 pares:
U = sumi
Substituindo os contadores:
U = k,q^2al(6 + 6raiz3 + 32r)

Passo 5

Agora simplificamos U = k,q^2a,l(152 + 2raiz3r) = 14pivarepsilon0,q^2a,l(152 + 2raiz3r) e . Logo

Resposta

boxedU = 14pivarepsilon0,q^2a,l(152 + 2raiz3r)

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