17 Verifique se a Eq. (6) satisfaz a equação de Poisson, aplicando o Laplaciano e usando a equação
Passo 1
Beleza, vamos ver o que o enunciado tá pedindo. A gente tem a Eq. (6), que é o potencial gerado por uma densidade de carga
E o objetivo é mostrar que isso satisfaz a equação de Poisson
Pra isso vamos usar:
- a definição do Laplaciano e sua linearidade;
- a propriedade
; - trocar derivada por integral numa boa.
Passo 2
Aplico o operador
em
. Como ele é linear e age só em
, vira
Agora entra a “mágica” da função delta:
Passo 3
Substituindo essa expressão na integral, fica
E aí, pela propriedade da delta de Dirac,
.
Resposta
logo a Eq. (6) satisfaz certinho a equação de Poisson.