17 Verifique se a Eq. (6) satisfaz a equação de Poisson, aplicando o Laplaciano e usando a equação
nabla^2(1r)=-4 pi de

Passo 1

Beleza, vamos ver o que o enunciado tá pedindo. A gente tem a Eq. (6), que é o potencial gerado por uma densidade de carga
phi(r) ;=; 14pivarepsilon0,integral d^3r';rho(r')|r-r'|
E o objetivo é mostrar que isso satisfaz a equação de Poisson
nabla^2phi(r) ;=; -rho(r)varepsilon0
Pra isso vamos usar:
  1. a definição do Laplaciano e sua linearidade;
  2. a propriedade
    ;
  3. trocar derivada por integral numa boa.

Passo 2

Aplico o operador nabla^2phi(r) =nabla^2!l[14pivarepsilon0integral d^3r',rho(r')|r-r'|r] =14pivarepsilon0integral d^3r',rho(r');nabla^2!l(1|r-r'|r) em nabla^2!l(1|r-r'|r) =-4pi,de. Como ele é linear e age só em , vira
Agora entra a “mágica” da função delta:

Passo 3

Substituindo essa expressão na integral, fica
nabla^2phi(r) =14pivarepsilon0integral d^3r',rho(r')l(-4pi,de
E aí, pela propriedade da delta de Dirac,
.

Resposta

nabla^2phi(r) ;=; -rho(r)varepsilon0,
logo a Eq. (6) satisfaz certinho a equação de Poisson.

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