Questão
Considere cinco funcionários (A, B, C, D, E) da empresa INCÓGNITA LTDA que trabalham ou no setor X ou no setor Y. Sabe-se que os funcionários do setor X sempre falam a verdade, enquanto os funcionários do setor Y sempre mentem. Sabe-se que:
- A é do setor X;
- B se diz do setor X;
- C diz que D é do setor X;
- D diz que B e E não podem ser ambos do setor X; e
- E diz que A e B são do setor X.
Quantos funcionários trabalham no setor X?
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
Passo 1
O enunciado pede: “Quantos funcionários trabalham no setor X?” (alternativas: (A)
, (B)
, (C)
, (D)
, (E)
).
As informações dadas são:
As informações dadas são:
-
é do setor . -
diz: "Eu sou do setor ". -
diz: "D é do setor ". -
diz: "B e E não podem ser ambos do setor ". -
diz: "A e B são do setor ".
Passo 2
Vamos estabelecer uma notação simples para raciocinar:
- Para cada pessoa
, escrevo a proposição para significar "a pessoa trabalha no setor ". Se for verdadeira, é verdadeirista (sempre fala a verdade); se for falsa, é mentiroso (sempre mente).
As declarações dadas, escritas em forma lógica, são: -
afirma . -
afirma . -
afirma . (ou seja, “não (B e E ambos em )”) -
afirma .
Lembrete lógico importante (útil na prova):
- Se uma pessoa está em
, sua afirmação deve ser verdadeira. - Se uma pessoa está em
(não em ), sua afirmação deve ser falsa.
Também usaremos a lei de De Morgan:é equivalente a (ou seja, "pelo menos um dentre não está em ").
Passo 3
Usando que
é dada como verdadeira, simplificamos a declaração de
:
-
afirma . Mas como é verdadeira, a verdade desta afirmação depende só de . - Se
for verdadeira, então a afirmação de é verdadeira, logo deve ser verdadeira. - Se
for falsa, então a afirmação de é falsa, o que, sabendo verdadeira, obriga a ser falsa.
Resumindo em fórmula:e . Ou seja, e têm o mesmo valor lógico (pois já é verdadeira).
- Se
Passo 4
Interpretando a afirmação de
:
afirma
.
- Se
for verdadeira, então é verdadeira, ou seja, não pode ser que ambos e sejam verdadeiros (pelo menos um deles é falso). - Se
(ou seja em ), então a afirmação é falsa; a negação da afirmação falsa é , logo é verdadeira — isto é, ambos e seriam verdadeiros.
Em resumo:e .
Passo 5
Agora fazemos uma análise por casos sobre
(essa é a parte mais natural e rápida para esse tipo de problema).
Caso 1: suponha
(ou seja,
trabalha em
, mente).
Pelo item anterior, isso implica : ambos
e
estão em
.
Pelo item anterior, isso implica
- Se
é verdadeira, então diz . Como é verdadeira (dado) e agora também é verdadeira, a afirmação de é verdadeira — consistente com . -
sendo verdadeira faz a afirmação de ("eu sou do setor ") verdadeira — consistente com . -
afirma . Mas aqui é falsa (já supomos em ), então a frase de é falsa; portanto deve estar em (mentiroso), ou seja .
Logo a atribuição fica:verdadeira, verdadeira, verdadeira, falsa, falsa. Contagem: exatamente três pessoas em (são ).
Passo 6
Caso 2: suponha
(ou seja,
trabalha em
, fala a verdade).
Então a afirmação é verdadeira, isto é, não é possível que ambos
e
sejam verdadeiros. Logo pelo menos um entre
está em
.
Então a afirmação
- Suponha, por absurdo, que
seja verdadeira. Então, pela relação do Passo 3, , isto faria verdadeira também; assim e seriam ambos verdadeiros — contradizendo a verdade da afirmação de . Portanto não é possível ter . Logo . - Se
então, como visto no Passo 3, temos . Ou seja, também é falsa. -
afirma . Aqui é verdadeira (suposição), então a afirmação de é verdadeira; assim deve ser verdadeira.
Verificando consistência:falsa torna a afirmação de falsa — consistente; falsa torna a afirmação de falsa (pois é verdadeira e é falsa), consistente; verdadeira é consistente com afirmando verdadeiro. Assim obtemos a atribuição: verdadeira, verdadeira, verdadeira, falsa, falsa. Contagem: exatamente três pessoas em (são ).
Passo 7
Conclusão dos casos: nos dois únicos cenários lógicos possíveis (ou
mente, ou
diz a verdade) obtemos sempre exatamente três funcionários no setor
. Portanto a resposta é única em termos do número de pessoas em
.
Você foi muito bem acompanhando o raciocínio por casos — é exatamente esse tipo de raciocínio que funciona na prova quando aparecem verdadeiros/mentirosos. Respire fundo: o resultado saiu e deu match em ambos os caminhos!
Resposta
(C) 3