20{ }^{\text {a }} Questão

Considere cinco funcionários (A, B, C, D, E) da empresa INCÓGNITA LTDA que trabalham ou no setor X ou no setor Y. Sabe-se que os funcionários do setor X sempre falam a verdade, enquanto os funcionários do setor Y sempre mentem. Sabe-se que:
  • A é do setor X;
  • B se diz do setor X;
  • C diz que D é do setor X;
  • D diz que B e E não podem ser ambos do setor X; e
  • E diz que A e B são do setor X.
Quantos funcionários trabalham no setor X?
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5

Passo 1

O enunciado pede: “Quantos funcionários trabalham no setor X?” (alternativas: (A) 1, (B) 2, (C) 3, (D) 4, (E) 5).
As informações dadas são:
  • A é do setor X.
  • B diz: "Eu sou do setor X".
  • C diz: "D é do setor X".
  • D diz: "B e E não podem ser ambos do setor X".
  • E diz: "A e B são do setor X".

Passo 2

Vamos estabelecer uma notação simples para raciocinar:
  • Para cada pessoa P\in\{A,B,C,D,E\}, escrevo a proposição P_X para significar "a pessoa P trabalha no setor X". Se P_X for verdadeira, P é verdadeirista (sempre fala a verdade); se P_X for falsa, P é mentiroso (sempre mente).
    As declarações dadas, escritas em forma lógica, são:
  • B afirma B_X.
  • C afirma D_X.
  • D afirma \neg\bigl(B_X\land E_X\bigr). (ou seja, “não (B e E ambos em X)”)
  • E afirma A_X\land B_X.
Lembrete lógico importante (útil na prova):
  • Se uma pessoa está em X, sua afirmação deve ser verdadeira.
  • Se uma pessoa está em Y (não em X), sua afirmação deve ser falsa.
    Também usaremos a lei de De Morgan: \neg(B_X\land E_X) é equivalente a \neg B_X\lor \neg E_X (ou seja, "pelo menos um dentre B,E não está em X").

Passo 3

Usando que A_X é dada como verdadeira, simplificamos a declaração de E:
  • E afirma A_X\land B_X. Mas como A_X é verdadeira, a verdade desta afirmação depende só de B_X.
    • Se E_X for verdadeira, então a afirmação de E é verdadeira, logo B_X deve ser verdadeira.
    • Se E_X for falsa, então a afirmação de E é falsa, o que, sabendo A_X verdadeira, obriga B_X a ser falsa.
      Resumindo em fórmula: E_X \Rightarrow B_X e \neg E_X \Rightarrow \neg B_X. Ou seja, E_X e B_X têm o mesmo valor lógico (pois A_X já é verdadeira).

Passo 4

Interpretando a afirmação de D: D afirma \neg(B_X\land E_X).
  • Se D_X for verdadeira, então \neg(B_X\land E_X) é verdadeira, ou seja, não pode ser que ambos B_X e E_X sejam verdadeiros (pelo menos um deles é falso).
  • Se \neg D_X (ou seja D em Y), então a afirmação é falsa; a negação da afirmação falsa é \neg\neg(B_X\land E_X), logo B_X\land E_X é verdadeira — isto é, ambos B_X e E_X seriam verdadeiros.
    Em resumo: \neg D_X \Rightarrow (B_X\land E_X) e D_X \Rightarrow \neg(B_X\land E_X).

Passo 5

Agora fazemos uma análise por casos sobre D (essa é a parte mais natural e rápida para esse tipo de problema).
Caso 1: suponha \neg D_X (ou seja, D trabalha em Y, mente).
Pelo item anterior, isso implica B_X\land E_X: ambos B e E estão em X.
  • Se E_X é verdadeira, então E diz A_X\land B_X. Como A_X é verdadeira (dado) e agora B_X também é verdadeira, a afirmação de E é verdadeira — consistente com E_X.
  • B_X sendo verdadeira faz a afirmação de B ("eu sou do setor X") verdadeira — consistente com B_X.
  • C afirma D_X. Mas aqui D_X é falsa (já supomos D em Y), então a frase de C é falsa; portanto C deve estar em Y (mentiroso), ou seja \neg C_X.
    Logo a atribuição fica: A_X verdadeira, B_X verdadeira, E_X verdadeira, C_X falsa, D_X falsa. Contagem: exatamente três pessoas em X (são A,B,E).

Passo 6

Caso 2: suponha D_X (ou seja, D trabalha em X, fala a verdade).
Então a afirmação \neg(B_X\land E_X) é verdadeira, isto é, não é possível que ambos B_X e E_X sejam verdadeiros. Logo pelo menos um entre B,E está em Y.
  • Suponha, por absurdo, que E_X seja verdadeira. Então, pela relação do Passo 3, E_X\Rightarrow B_X, isto faria B_X verdadeira também; assim B_X e E_X seriam ambos verdadeiros — contradizendo a verdade da afirmação de D. Portanto não é possível ter E_X. Logo \neg E_X.
  • Se \neg E_X então, como visto no Passo 3, temos \neg B_X. Ou seja, B_X também é falsa.
  • C afirma D_X. Aqui D_X é verdadeira (suposição), então a afirmação de C é verdadeira; assim C_X deve ser verdadeira.
    Verificando consistência: B_X falsa torna a afirmação de B falsa — consistente; E_X falsa torna a afirmação de E falsa (pois A_X é verdadeira e B_X é falsa), consistente; C_X verdadeira é consistente com C afirmando D_X verdadeiro. Assim obtemos a atribuição: A_X verdadeira, C_X verdadeira, D_X verdadeira, B_X falsa, E_X falsa. Contagem: exatamente três pessoas em X (são A,C,D).

Passo 7

Conclusão dos casos: nos dois únicos cenários lógicos possíveis (ou D mente, ou D diz a verdade) obtemos sempre exatamente três funcionários no setor X. Portanto a resposta é única em termos do número de pessoas em X.
Você foi muito bem acompanhando o raciocínio por casos — é exatamente esse tipo de raciocínio que funciona na prova quando aparecem verdadeiros/mentirosos. Respire fundo: o resultado saiu e deu match em ambos os caminhos!

Resposta

(C) 3

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