21{ }^{\text {a }} Questão

Uma roda circular de trator rola em linha reta sobre o chão horizontal sem escorregar. Uma partícula A da extremidade da roda descreve uma curva (chamada cicloide) cuja equação cartesiana é
x=\operatorname{arccos} (1-y)-\sqrt{2 y-y^{2}}
com x e y medidos em metros em um sistema de coordenadas cuja origem está sobre o solo, com eixo x paralelo ao solo. Enquanto a partícula se desloca desde o contato com o solo até o ponto mais alto da roda, sua coordenada y varia desde o mínimo até o máximo valor para os quais a expressão para x é real. A razão entre o módulo da velocidade de A (em relação ao solo) e sua componente horizontal no instante em que A possui coordenada y=1,62 vale
(A) 3 / 2
(B) 4 / 3
(C) 6 / 5
(D) 9 / 8
(E) 10 / 9

Passo 1

O enunciado nos dá a curva descrita por uma partícula na borda de uma roda que rola sem escorregar, com a equação
x=\operatorname{arccos}(1-y)-\sqrt{2y-y^{2}},
onde x e y estão em metros. Pede-se a razão entre o módulo da velocidade de A (em relação ao solo) e sua componente horizontal no instante em que y=1,62. Informação importante que vem do enunciado: a roda descreve uma cicloide e a partícula vai do contato com o solo até o ponto mais alto da roda.

Passo 2

Vamos reconhecer a forma padrão da cicloide gerada por uma roda de raio R. A parametrização usual, usando o ângulo \theta medido a partir do ponto de contato, é
x=R(\theta-\sin\theta),\qquad y=R(1-\cos\theta).
Compare a expressão dada com a forma obtida ao eliminar \theta: se tomarmos R=1 temos
x=\theta-\sin\theta,\qquad y=1-\cos\theta.
Invertendo y para \theta obtemos \theta=\operatorname{arccos}(1-y) e \sin\theta=\sqrt{2y-y^{2}}, o que leva exatamente à expressão fornecida. Logo podemos assumir que a roda tem raio
R=1.

Passo 3

Trabalharemos com a parametrização (com R=1):
x(\theta)=\theta-\sin\theta,\qquad y(\theta)=1-\cos\theta.
Aqui \theta varia de 0 a \pi enquanto a partícula vai do ponto de contato até o topo. Para obter velocidades em relação ao tempo, usamos que \theta depende do tempo t. Pela condição de rolamento sem escorregar, a velocidade do centro é V_{\text{centro}}=R\omega=\omega, onde \omega=d\theta/dt (como R=1). Vamos calcular as derivadas em relação a \theta:
\frac{dx}{d\theta}=1-\cos\theta,\qquad \frac{dy}{d\theta}=\sin\theta.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia para obter as componentes da velocidade em função de \theta e \omega=d\theta/dt:
v_x=\frac{dx}{dt}=\frac{dx}{d\theta}\frac{d\theta}{dt}=(1-\cos\theta)\,\omega,
v_y=\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{d\theta}\frac{d\theta}{dt}=\sin\theta\,\omega.
Essas fórmulas são bem intuitivas: v_x tem a contribuição do avanço do centro e da rotação, e v_y vem só da rotação neste referencial paramétrico.

Passo 5

O módulo da velocidade é
|v|=\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}} =\omega\sqrt{(1-\cos\theta)^{2}+\sin^{2}\theta}.
Vamos simplificar a raiz:
(1-\cos\theta)^{2}+\sin^{2}\theta=1-2\cos\theta+\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta =2-2\cos\theta.
Portanto
|v|=\omega\sqrt{2-2\cos\theta}.
Usando a identidade de meia-ângulo 1-\cos\theta=2\sin^{2}\!\frac{\theta}{2} (ou 2-2\cos\theta=4\sin^{2}\!\frac{\theta}{2}), obtemos
|v|=\omega\cdot 2\sin\!\frac{\theta}{2}.

Passo 6

Agora formamos a razão pedida:
\frac{|v|}{v_x}=\frac{2\omega\sin\!\tfrac{\theta}{2}}{(1-\cos\theta)\,\omega} =\frac{2\sin\!\tfrac{\theta}{2}}{2\sin^{2}\!\tfrac{\theta}{2}} =\frac{1}{\sin\!\tfrac{\theta}{2}}.
Portanto a razão depende apenas de \theta através de \sin(\theta/2).

Passo 7

Faltam conectar \theta ao y dado. Como y=1-\cos\theta, temos
\cos\theta=1-y.
Substituindo y=\(1,62):
\cos\theta=1-1,62=-0,62.
Usando a identidade de meia-ângulo para \sin^{2}(\theta/2):
\sin^{2}\!\tfrac{\theta}{2}=\frac{1-\cos\theta}{2}=\frac{y}{2}.
Com y=\(1,62) segue
\sin^{2}\!\tfrac{\theta}{2}=\frac{1,62}{2}=0,81,
logo \sin\!\tfrac{\theta}{2}=0,9 (escolhemos o sinal positivo porque \theta/2\in(0,\tfrac{\pi}{2}) neste intervalo). Finalmente,
\frac{|v|}{v_x}=\frac{1}{\sin\!\tfrac{\theta}{2}}=\frac{1}{0,9}=\frac{10}{9}.

Resposta

(E) 10/9

Exercícios relacionados