Questão
Uma roda circular de trator rola em linha reta sobre o chão horizontal sem escorregar. Uma partícula A da extremidade da roda descreve uma curva (chamada cicloide) cuja equação cartesiana é
com
e
medidos em metros em um sistema de coordenadas cuja origem está sobre o solo, com eixo
paralelo ao solo. Enquanto a partícula se desloca desde o contato com o solo até o ponto mais alto da roda, sua coordenada
varia desde o mínimo até o máximo valor para os quais a expressão para
é real. A razão entre o módulo da velocidade de A (em relação ao solo) e sua componente horizontal no instante em que A possui coordenada
vale
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado nos dá a curva descrita por uma partícula na borda de uma roda que rola sem escorregar, com a equação
onde
e
estão em metros. Pede-se a razão entre o módulo da velocidade de
(em relação ao solo) e sua componente horizontal no instante em que
. Informação importante que vem do enunciado: a roda descreve uma cicloide e a partícula vai do contato com o solo até o ponto mais alto da roda.
Passo 2
Vamos reconhecer a forma padrão da cicloide gerada por uma roda de raio
. A parametrização usual, usando o ângulo
medido a partir do ponto de contato, é
Compare a expressão dada com a forma obtida ao eliminar
: se tomarmos
temos
Invertendo
para
obtemos
e
, o que leva exatamente à expressão fornecida. Logo podemos assumir que a roda tem raio
Passo 3
Trabalharemos com a parametrização (com
):
Aqui
varia de
a
enquanto a partícula vai do ponto de contato até o topo. Para obter velocidades em relação ao tempo, usamos que
depende do tempo
. Pela condição de rolamento sem escorregar, a velocidade do centro é
, onde
(como
). Vamos calcular as derivadas em relação a
:
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia para obter as componentes da velocidade em função de
e
:
Essas fórmulas são bem intuitivas:
tem a contribuição do avanço do centro e da rotação, e
vem só da rotação neste referencial paramétrico.
Passo 5
O módulo da velocidade é
Vamos simplificar a raiz:
Portanto
Usando a identidade de meia-ângulo
(ou
), obtemos
Passo 6
Agora formamos a razão pedida:
Portanto a razão depende apenas de
através de
.
Passo 7
Faltam conectar
ao
dado. Como
, temos
Substituindo
):
Usando a identidade de meia-ângulo para
:
Com
) segue
logo
(escolhemos o sinal positivo porque
neste intervalo). Finalmente,
Resposta
(E)