Questão
Considere o conjunto dos números naturais
, e seja
. Então, existem primos
e naturais
, tais que
. Dizemos que os naturais
são fatores primos distintos de
. A decomposição de
em fatores primos é única.
Defina a função
, tal que
é o número de fatores primos distintos de
.
Defina
, tal que
e
para todo
. Além disso, sejam X o conjunto dos números pares e Y o conjunto dos números ímpares, tais que
. Isto é,
, tal que
e
, tal que
.
Sobre a função
assinale a alternativa INCORRETA
(A)
.
(B)
.
(C)
.
(D)
.
(E)
.
Defina a função
Defina
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O conjunto dos naturais é
. - Para
, é o número de fatores primos distintos de . A decomposição em primos é única. - A função
é dada por e para . -
é o conjunto dos pares (números pares), isto é, . -
é o conjunto dos ímpares, isto é, . - Observação:
(todo natural é par ou ímpar).
O que o enunciado pede: assinalar a alternativa INCORRETA entre (A) a (E).
Passo 2
Verifico a alternativa (A):
.
Explicação geral (propriedade de imagens): para qualquer função
e quaisquer conjuntos
do domínio vale sempre
Prova curta: se
então existe
com
; esse
está em
ou em
, então
. Reciprocamente, se
então
ou
, logo
. Portanto (A) é verdadeira.
Passo 3
Verifico a alternativa (B):
.
Queremos ver se
é sobrejetora em
. Dado qualquer
, preciso encontrar
tal que
.
Construção padrão: tome os primeiros
primos (ou qualquer
primos distintos) e faça o produto desses primos. Por exemplo, escolha os primos
e seja
Esse
tem exatamente
fatores primos distintos, logo
. Além disso, para
pode-se usar
(já que
) ou qualquer primo. Como isto vale para todo
, a imagem
contém todos os naturais; como
toma valores em
, concluímos
. Assim (B) é verdadeira.
Passo 4
Verifico a alternativa (C):
.
Como já observei
, esta igualdade equivale a
. Do Passo 3 sabemos
. Basta mostrar que
, isto é, que para todo
existe um número par
com
.
Construção de exemplo: para qualquer
escolho
como o produto do primo
com mais
primos distintos (se
basta
). Explicitamente,
onde no produto há exatamente
primos distintos (o primeiro é
). Esse
é par e tem exatamente
fatores primos distintos, logo
. Portanto
e, consequentemente,
. Assim (C) é verdadeira.
Passo 5
Verifico a alternativa (E):
.
Como antes
, isto equivale a
. Preciso mostrar que para todo
existe um número ímpar
com
.
Construção de exemplo: para qualquer
basta tomar o produto de
primos ímpares distintos, por exemplo
(há infinitos primos ímpares, então isso é sempre possível). Esse
é ímpar e tem exatamente
fatores primos distintos, logo
. Para
pode-se tomar
. Assim
e (E) é verdadeira.
Passo 6
Verifico a alternativa (D):
.
Interpretação: a fórmula escrita é inconsistente (parece afirmar que
e que esse valor é igual a
, para todo
). Para mostrar que é INCORRETA basta um contraexemplo.
Contraexemplo numérico simples: tome
e
. Então
. O lado direito da expressão proposta seria
, ou seja
. Mas
. Logo a igualdade sugerida em (D) falha já para
. Assim (D) é falsa.
Além disso, logicamente a expressão não faz sentido para valer para todos
: ela implicaria relações mutuamente contraditórias entre
e
que não podem ser verdadeiras para uma função tão simples como
.
Passo 7
Conclusão: apenas a alternativa (D) é incorreta; as demais (A), (B), (C) e (E) são verdadeiras.
Resposta
(D)