19^{\text {a }} Questão

Considere o conjunto dos números naturais N=\{1,2,3, \cdots\}, e seja a \in N-\{1\}. Então, existem primos p_{1}, p_{2}, \cdots, p_{r} e naturais n_{1}, n_{2}, \cdots, n_{r}, tais que a=p_{1}^{n_{1}} \cdot p_{2}^{n_{2}} \cdots \cdot p_{r}^{n_{r}}. Dizemos que os naturais p_{i}, \forall i=1, \cdots, r são fatores primos distintos de a. A decomposição de a em fatores primos é única.
Defina a função p: N-\{1\} \longrightarrow N, tal que p(x) é o número de fatores primos distintos de x.
Defina f: N \longrightarrow N, tal que f(1)=1 e f(x)=\mathrm{p}(x) para todo x>1. Além disso, sejam X o conjunto dos números pares e Y o conjunto dos números ímpares, tais que \mathrm{XeY} \subset N. Isto é, a \in X-\exists n \in N, tal que a=2 n e b \in Y-\exists n \in N, tal que b=2 n-1.
Sobre a função f assinale a alternativa INCORRETA
(A) f(X \cup Y)=f(X) \cup f(Y).
(B) f(N)=N.
(C) f(X \cup Y)=f(X).
(D) f(a)=f(b)-a=b, \forall a, b \in N.
(E) f(X \cup Y)=f(Y).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O conjunto dos naturais é N=\{1,2,3,\ldots\}.
  • Para x>1, p(x) é o número de fatores primos distintos de x. A decomposição em primos é única.
  • A função f:N\to N é dada por f(1)=1 e f(x)=p(x) para x>1.
  • X é o conjunto dos pares (números pares), isto é, X=\{x\in N\mid x=2n\text{ para algum }n\in N\}.
  • Y é o conjunto dos ímpares, isto é, Y=\{y\in N\mid y=2n-1\text{ para algum }n\in N\}.
  • Observação: X\cup Y=N (todo natural é par ou ímpar).
O que o enunciado pede: assinalar a alternativa INCORRETA entre (A) a (E).

Passo 2

Verifico a alternativa (A): f(X\cup Y)=f(X)\cup f(Y).
Explicação geral (propriedade de imagens): para qualquer função f e quaisquer conjuntos A,B do domínio vale sempre
f(A\cup B)=f(A)\cup f(B).
Prova curta: se y\in f(A\cup B) então existe x\in A\cup B com f(x)=y; esse x está em A ou em B, então y\in f(A)\cup f(B). Reciprocamente, se y\in f(A)\cup f(B) então y\in f(A) ou y\in f(B), logo y\in f(A\cup B). Portanto (A) é verdadeira.

Passo 3

Verifico a alternativa (B): f(N)=N.
Queremos ver se f é sobrejetora em N. Dado qualquer k\in N, preciso encontrar n\in N tal que f(n)=k.
Construção padrão: tome os primeiros k primos (ou qualquer k primos distintos) e faça o produto desses primos. Por exemplo, escolha os primos 2,3,5,\ldots,p_k e seja
n=2\cdot 3\cdot 5\cdots p_k.
Esse n tem exatamente k fatores primos distintos, logo f(n)=k. Além disso, para k=1 pode-se usar n=1 (já que f(1)=1) ou qualquer primo. Como isto vale para todo k\in N, a imagem f(N) contém todos os naturais; como f toma valores em N, concluímos f(N)=N. Assim (B) é verdadeira.

Passo 4

Verifico a alternativa (C): f(X\cup Y)=f(X).
Como já observei X\cup Y=N, esta igualdade equivale a f(N)=f(X). Do Passo 3 sabemos f(N)=N. Basta mostrar que f(X)=N, isto é, que para todo k\in N existe um número par m com f(m)=k.
Construção de exemplo: para qualquer k\in N escolho m como o produto do primo 2 com mais k-1 primos distintos (se k=1 basta m=2). Explicitamente,
m=2\cdot 3\cdot 5\cdots p_{k},
onde no produto há exatamente k primos distintos (o primeiro é 2). Esse m é par e tem exatamente k fatores primos distintos, logo f(m)=k. Portanto f(X)=N e, consequentemente, f(X\cup Y)=f(X). Assim (C) é verdadeira.

Passo 5

Verifico a alternativa (E): f(X\cup Y)=f(Y).
Como antes X\cup Y=N, isto equivale a f(Y)=N. Preciso mostrar que para todo k\in N existe um número ímpar t com f(t)=k.
Construção de exemplo: para qualquer k\in N basta tomar o produto de k primos ímpares distintos, por exemplo t=3\cdot 5\cdot 7\cdots q_k (há infinitos primos ímpares, então isso é sempre possível). Esse t é ímpar e tem exatamente k fatores primos distintos, logo f(t)=k. Para k=1 pode-se tomar t=3. Assim f(Y)=N e (E) é verdadeira.

Passo 6

Verifico a alternativa (D): f(a)=f(b)-a=b,\\ \forall a,b\in N.
Interpretação: a fórmula escrita é inconsistente (parece afirmar que f(a)=f(b)-a e que esse valor é igual a b, para todo a,b). Para mostrar que é INCORRETA basta um contraexemplo.
Contraexemplo numérico simples: tome a=1 e b=1. Então f(1)=1. O lado direito da expressão proposta seria f(b)-a=b, ou seja f(1)-1=1. Mas f(1)-1=1-1=0\neq 1. Logo a igualdade sugerida em (D) falha já para a=b=1. Assim (D) é falsa.
Além disso, logicamente a expressão não faz sentido para valer para todos a,b: ela implicaria relações mutuamente contraditórias entre f(a) e a,b que não podem ser verdadeiras para uma função tão simples como f.

Passo 7

Conclusão: apenas a alternativa (D) é incorreta; as demais (A), (B), (C) e (E) são verdadeiras.

Resposta

(D)

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