Os polos dominantes deste sistema em malha fechada são
Projete im controlador que proporcione a este sistema um erro em regime permanente nulo e uma porcentagem de overshoot de 16,3% sem alterar o instante de pico.
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede e o que precisamos usar:
– Enunciado em resumo: temos o sistema aberto
e sabemos que, sem controlador, os polos dominantes em malha fechada estão em
Precisamos projetar um controlador que:
Zere o erro em regime permanente (ou seja, incluir um integrador).
Dê 16,3 % de overshoot no degrau.
Não mude o instante de pico (ou seja, mantenha o mesmo , porque ).
Conteúdo/matéria: projeto de controladores pelo lugar das raízes, uso de zeta/overshoot, condição de fase e ganho em malha aberta, técnica de controlador PI (polo em zero para eliminar erro).
Passo 2
Calcular os parâmetros de resposta desejada (zeta e ), mantendo .
Queremos 16,3 % de overshoot. A fórmula clássica é
Resolvendo (pode usar calculadora ou tabela):
Como não vamos mexer no instante de pico, mantemos .
Então
Os polos desejados em malha fechada são, portanto,
Passo 3
Escolher a estrutura do controlador: vamos usar um PI, que é
onde e . Isso inclui um integrador (para erro zero) e um zero em .
Passo 4
Usar as condições de ângulo e módulo em para determinar e .
Condição de fase (root‐locus):
Ao calcular numericamente cada ângulo (usando arctan e remetendo ao quadrante correto), encontra‐se
Com em mãos, impõe‐se a condição de módulo:
Fazendo as substituições e resolvendo para , obtém‐se
Passo 5
Converter para Kp=K=0,42, Ki=KTi=0,420,15approx2,80 e :
Resposta
O controlador PI que atende aos requisitos é
boxed% C(s)=0,42;l(1+10,15,sr) =0,42,s+2,80s
Ele inclui integrador (erro zero), desloca os polos dominantes para (mesmo ), e garante overshoot de 16,3 %.