G(s)=200(s+6)(s+2)(s+5)(s+10)
Os polos dominantes deste sistema em malha fechada são s=-5,45 pm j 13,56
Projete im controlador que proporcione a este sistema um erro em regime permanente nulo e uma porcentagem de overshoot de 16,3% sem alterar o instante de pico.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede e o que precisamos usar:
– Enunciado em resumo: temos o sistema aberto
G(s)=200,(s+6)(s+2)(s+5)(s+10)
e sabemos que, sem controlador, os polos dominantes em malha fechada estão em
s=-5,45pm j,13,56
Precisamos projetar um controlador que:
  1. Zere o erro em regime permanente (ou seja, incluir um integrador).
  2. Dê 16,3 % de overshoot no degrau.
  3. Não mude o instante de pico (ou seja, mantenha o mesmo , porque
    ).
Conteúdo/matéria: projeto de controladores pelo lugar das raízes, uso de zeta/overshoot, condição de fase e ganho em malha aberta, técnica de controlador PI (polo em zero para eliminar erro).

Passo 2

Calcular os parâmetros de resposta desejada (zeta e PO=e^-zetapi/raiz1-zeta^2Longrightarrow 0,163=e^-zetapi/raiz1-zeta^2 ), mantendo zetaapprox 0,50 .
  1. Queremos 16,3 % de overshoot. A fórmula clássica é
    omegan=13,56raiz1-0,5^2 =13,560,8660approx15,66
    Resolvendo (pode usar calculadora ou tabela):
    sd1,2=-zeta,omeganpm j,omegad =-0,5times15,66pm j,13,56 =-7,83pm j,13,56
  2. Como não vamos mexer no instante de pico, mantemos
    .
    Então
  3. Os polos desejados em malha fechada são, portanto,

Passo 3

Escolher a estrutura do controlador: vamos usar um PI, que é
C(s)=Kl(1+1Ti,sr) =K,(Ti s+1)Ti s =Kp,s+Kis,
onde e . Isso inclui um integrador (para erro zero) e um zero em .

Passo 4

Usar as condições de ângulo e módulo em ang<= C(sd),G(sd) =ang<=l(Ti sd+1r) - ang<=(sd) + ang<=(sd+6) - [ang<=(sd+2)+ang<=(sd+5)+ang<=(sd+10)] =pm 180^circ para determinar Tiapprox0,15;s e |C(sd),G(sd)|=1 Longrightarrow l|tfracK,(Ti sd+1)Ti sd,cdot,tfrac200(sd+6)(sd+2)(sd+5)(sd+10)r|=1 .
  1. Condição de fase (root‐locus):
    Kapprox0,42
    Ao calcular numericamente cada ângulo (usando arctan e remetendo ao quadrante correto), encontra‐se
  2. Com em mãos, impõe‐se a condição de módulo:
    Fazendo as substituições e resolvendo para , obtém‐se

Passo 5

Converter para Kp=K=0,42, Ki=KTi=0,420,15approx2,80 e :

Resposta

O controlador PI que atende aos requisitos é
boxed% C(s)=0,42;l(1+10,15,sr) =0,42,s+2,80s
Ele inclui integrador (erro zero), desloca os polos dominantes para
(mesmo ), e garante overshoot de 16,3 %.

Exercícios relacionados