G(s)=Ks(s+7)
a) Considerando-se que este sistema opera com porcentagem de overshoot de 20%; projete um controlador capaz de diminuir o tempo de acomodação deste sistema 2 vezes e o erro em regime permanente 10 vezes. Coloque o zero do compensador em -3. Qual o deslocamento que o polo dominante do sistema compensado sofre com relação o polo dominante original?
b) Ustifique a escolha do controlador utilizado.

Passo 1

Beleza, aqui o que temos:
• Planta:
G(s)=Ks,(s+7)
• Queremos um sistema em malha fechada com:
– Overshoot de 20 % → define ζ (coeficiente de amortecimento)
– Tempo de acomodação (settling time) duas vezes menor
– Erro em regime permanente (para rampa) 10× menor → é tipo I, então olhamos K_v
– Além disso, o compensador deve ter um zero em –3
O que vamos usar:
a) Relação entre overshoot e ζ:
OS=exp!(!-pi,zetaraiz1-zeta^2)
b) Tempo de acomodação:
Tsapprox4zeta,omegan
c) Pólos desejados em função de (ζ, ω_n)
d) Cálculo de deslocamento vetorial no plano s
e) Constante de velocidade (K_v) para erro em rampa

Passo 2

  1. Calcular ζ para OS=20 %:
0,20=exp(-pi,zetaraiz1-zeta^2) Longrightarrow zetaapprox0,456
  1. A operação “este sistema já opera” com OS=20 % significa que na malha fechada original escolhemos 72raizK=zeta Longrightarrow Kapprox(72cdot0,456)^2approx59 tal que
so1,2=-zetaomeganpm j,omeganraiz1-zeta^2 comomegan=raizKapprox7,68
Então os polos originais em malha fechada são
so1,2approx -3,50pm j,3,35
Isso dá

Passo 3

Reduzir Ts pela metade:
Ts,orig=4zeta,omeganapprox1,14;s Longrightarrow Ts,novo=0,57;s
Para manter o mesmo ζ e atingir omegan,novo=4zeta,Ts,novo approx15,35 , precisamos de
sd1,2 =-zetaomegan,novopm j,omegan,novoraiz1-zeta^2 approx -7pm j,13,68
Os novos polos dominantes serão

Passo 4

Agora, a pergunta (a) pede o deslocamento do polo dominante compensado em relação ao original. Calculamos o vetor diferença:
De
O módulo desse deslocamento é
l|De

Passo 5

(b) Por que usar um compensador de avanço (lead)?
  • A gente precisa deslocar os polos dominantes para a esquerda e, ao mesmo tempo, adicionar um zero em –3.
  • Um compensador do tipo avanço de fase tem estrutura genérica C(s)=Kc,s+3s+p, p>3, que dá ganho de fase positivo perto da região de atuação dos polos desejados e ainda permite ajustar .
  • O zero em –3 acelera a resposta (melhora a parte transitória) e o polo em mantem o compensador estável/proper.
  • Ajustando , a gente consegue elevar em um fator 10 e fechar a equação de magnitude do lugar das raízes na posição exata de .

Resposta

Deslocamento do polo dominante:
De
Justificativa: escolhemos um compensador de avanço (lead) com zero em –3 para deslocar os polos para a esquerda (atender a redução de e o ) e ajustar em 10× escolhendo o ganho adequado.

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