a) Considerando-se que este sistema opera com porcentagem de overshoot de 20%; projete um controlador capaz de diminuir o tempo de acomodação deste sistema 2 vezes e o erro em regime permanente 10 vezes. Coloque o zero do compensador em -3. Qual o deslocamento que o polo dominante do sistema compensado sofre com relação o polo dominante original?
b) Ustifique a escolha do controlador utilizado.
Passo 1
Beleza, aqui o que temos:
• Planta:
• Queremos um sistema em malha fechada com:
– Overshoot de 20 % → define ζ (coeficiente de amortecimento)
– Tempo de acomodação (settling time) duas vezes menor
– Erro em regime permanente (para rampa) 10× menor → é tipo I, então olhamos K_v
– Além disso, o compensador deve ter um zero em –3
O que vamos usar:
a) Relação entre overshoot e ζ:
b) Tempo de acomodação:
c) Pólos desejados em função de (ζ, ω_n)
d) Cálculo de deslocamento vetorial no plano s
e) Constante de velocidade (K_v) para erro em rampa
Passo 2
Calcular ζ para OS=20 %:
A operação “este sistema já opera” com OS=20 % significa que na malha fechada original escolhemos tal que
Então os polos originais em malha fechada são
Isso dá
Passo 3
Reduzir Ts pela metade:
Para manter o mesmo ζ e atingir , precisamos de
Os novos polos dominantes serão
Passo 4
Agora, a pergunta (a) pede o deslocamento do polo dominante compensado em relação ao original. Calculamos o vetor diferença:
O módulo desse deslocamento é
Passo 5
(b) Por que usar um compensador de avanço (lead)?
A gente precisa deslocar os polos dominantes para a esquerda e, ao mesmo tempo, adicionar um zero em –3.
Um compensador do tipo avanço de fase tem estrutura genérica C(s)=Kc,s+3s+p, p>3, que dá ganho de fase positivo perto da região de atuação dos polos desejados e ainda permite ajustar .
O zero em –3 acelera a resposta (melhora a parte transitória) e o polo em mantem o compensador estável/proper.
Ajustando , a gente consegue elevar em um fator 10 e fechar a equação de magnitude do lugar das raízes na posição exata de .
Resposta
Deslocamento do polo dominante:
De
Justificativa: escolhemos um compensador de avanço (lead) com zero em –3 para deslocar os polos para a esquerda (atender a redução de e o ) e ajustar em 10× escolhendo o ganho adequado.