a) Mostre que o erro em regime permanente de um sistema controlado por um controlador Pl é sempre nulo, quando excitado por um degrau unitário.
b) Mostre que a introdução de um controlador PD não altera a ordem do sistema. Justifique sua resposta
b) Mostre que a introdução de um controlador PD não altera a ordem do sistema. Justifique sua resposta
Passo 1
Beleza, vamos resolver dois tópicos de teoria de Controle: (a) mostrar que um controlador PI zera o erro em regime permanente para entrada degrau unitário; (b) mostrar que incluir um controlador PD não muda a ordem do sistema. Para isso, a gente vai precisar de:
- A função de transferência do controlador PI, que tem um pólo em zero.
- O teorema do valor final para achar o erro em regime permanente.
- O conceito de ordem de um sistema (grau do polinômio no denominador da malha fechada).
Passo 2
Começando pelo item (a): o erro em regime permanente
para uma entrada degrau unitário
a partir da transformada de Laplace
. A função de erro na malha fechada é
O controlador PI é
logo ele tem um pólo em
, ou seja, ganho infinito quando
.
Passo 3
Agora aplicamos o Teorema do Valor Final:
Quando
, o termo
. Então
ou seja,
.
Passo 4
Agora o item (b): vamos adicionar um controlador PD, cuja forma é
Se a gente colocar isso em série com a planta
, a malha aberta fica
A realimentação fecha pelo denominador da função de transferência em malha fechada:
Passo 5
Perceba que
é um polinômio de grau
(a ordem do sistema original) e
tem grau menor ou igual a
. Quando você soma
com
e com
, o termo de maior grau continua vindo de
, porque
tem grau no máximo
. Logo o polinômio
ainda tem grau
. Não apareceu nenhum pólo a mais—você só mexeu no numerador (acrescentou zeros), não no denominador.
Resposta
a) O erro em regime permanente com controlador PI para entrada degrau unitário é
.
b) A inclusão de um controlador PD adiciona apenas zeros na malha fechada, não aumenta o grau do polinômio do denominador, logo a ordem do sistema permanece a mesma.
b) A inclusão de um controlador PD adiciona apenas zeros na malha fechada, não aumenta o grau do polinômio do denominador, logo a ordem do sistema permanece a mesma.