a) Mostre que o erro em regime permanente de um sistema controlado por um controlador Pl é sempre nulo, quando excitado por um degrau unitário.
b) Mostre que a introdução de um controlador PD não altera a ordem do sistema. Justifique sua resposta

Passo 1

Beleza, vamos resolver dois tópicos de teoria de Controle: (a) mostrar que um controlador PI zera o erro em regime permanente para entrada degrau unitário; (b) mostrar que incluir um controlador PD não muda a ordem do sistema. Para isso, a gente vai precisar de:
  • A função de transferência do controlador PI, que tem um pólo em zero.
  • O teorema do valor final para achar o erro em regime permanente.
  • O conceito de ordem de um sistema (grau do polinômio no denominador da malha fechada).

Passo 2

Começando pelo item (a): o erro em regime permanente E(s)=11+C(s)G(s),R(s) para uma entrada degrau unitário C(s)=Kl(1+1Ti,sr)=K(Ti s+1)Ti s, a partir da transformada de Laplace . A função de erro na malha fechada é
O controlador PI é
logo ele tem um pólo em , ou seja, ganho infinito quando .

Passo 3

Agora aplicamos o Teorema do Valor Final:
ess = limttoinfty e(t) = limsto0 s,E(s) = limsto0 s;11+C(s)G(s);1s = limsto011+C(s)G(s)
Quando 11+C(s)G(s)longrightarrow 0, , o termo . Então
ou seja, .

Passo 4

Agora o item (b): vamos adicionar um controlador PD, cuja forma é
CPD(s)=Kl(1+Td,sr)
Se a gente colocar isso em série com a planta L(s)=CPD(s),G(s)=K,(1+Td s),N(s)D(s) , a malha aberta fica
De
A realimentação fecha pelo denominador da função de transferência em malha fechada:

Passo 5

Perceba que é um polinômio de grau (a ordem do sistema original) e tem grau menor ou igual a . Quando você soma com e com , o termo de maior grau continua vindo de , porque tem grau no máximo . Logo o polinômio ainda tem grau . Não apareceu nenhum pólo a mais—você só mexeu no numerador (acrescentou zeros), não no denominador.

Resposta

a) O erro em regime permanente com controlador PI para entrada degrau unitário é .
b) A inclusão de um controlador PD adiciona apenas zeros na malha fechada, não aumenta o grau do polinômio do denominador, logo a ordem do sistema permanece a mesma.

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