G(s)=1s(s+1)(s+2)(s+4)
a) Considerando-se a realimentação unitária, projete um controlador que assegure ao sistema em malha fechada um fator de amortecimento zeta=0,5 e um tempo de acomodaçāo Ts=2 s.
b) O que a introdução de um controlador PI produziria na resposta ao degrau deste sistema?

Passo 1

Beleza, o enunciado pede duas coisas sobre o sistema
G(s)=1s(s+1)(s+2)(s+4)
em malha fechada com realimentação unitária:
a) Projetar um controlador que garanta ζ=0,5 e tempo de acomodação Ts=2 s.
b) Dizer o que um controlador PI mudaria na resposta ao degrau.
Conteúdo: projeto de compensadores pelo método de lugar das raízes (ou por equivalência de polinômios). Vamos usar:
  • Relação entre ζ, ωₙ e Ts: Tsapprox4ζ,ωn
    - Dominant‐pole approximation (ignoramos momentaneamente as duas raízes mais rápidas em –2 e –4 para facilitar o projeto de 2ª ordem).
    - Igualação de coeficientes do polinômio característico.

Passo 2

  1. Primeiro descobrimos ωₙ a partir de ζ e Ts.
    Ts=2 s e ζ=0,5 ⇒ 2=40.5·ωn;Longrightarrow;ωn=42·0.5=4 rad/s
    Então, queremos um par de pólos dominantes em
    sd=-ζωnpm j,ωnraiz1-ζ^2=-2pm j,3.464
  2. Vamos aproximar o sistema como de segunda ordem: Gap(s)approx18,s(s+1),
    porque para frequências em torno de ωₙ=4 rad/s.

Passo 3

  1. Escolhemos um controlador PD simples: C(s)=K,(s+z)
    A malha aberta aproximada fica
    L(s)=C(s),Gap(s)=K,(s+z)8,s(s+1)O polinômio característico é 1+L(s)=0Longrightarrow s(s+1)+K8(s+z)=0 Rightarrow s^2+s+K8s+K,z8=0 Rightarrow s^2+l(1+K8r)s+K,z8=0

Passo 4

  1. Para termos um segundo‐grau com ζ=0,5 e ωₙ=4, o modelo canônico é s^2+2ζωn,s+ωn^2=s^2+4,s+16
    Comparando com nosso polinômio:
    - Coeficiente de s:  1+K/8=4;Longrightarrow;K/8=3;Rightarrow;K=24
    - Termo constante:  K,z/8=16;Longrightarrow;24,z/8=16;Rightarrow;3z=16;Rightarrow;z=tfrac163approx5.33

Passo 5

  1. Pronto! O controlador fica boxedC(s)=24,(s+5.33)
    Com isso, os pólos dominantes aproximados saem em -2pm j3.464, dando ζ=0.5 e Ts≈2 s.

Passo 6

b) Se, em vez de PD, você meter um PI, ou seja
CPI(s)=Kl(1+1Ti,sr)!,
a gente adiciona um polo na origem (o “I”) e um zero em .
- Isso elimina o erro em regime permanente a degrau (tornando o sistema tipo 2).
- Mas o integrador tende a diminuir a margem de fase, aumentando o sobresinal e ralentando um pouco o assentamento.

Resposta

a) C(s)=24,(s+5.33).
b) Um controlador PI zeraria o erro em regime permanente do degrau, mas aumentaria o sobresinal e tornaria a acomodação um pouco mais lenta.

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