a) Considerando-se a realimentação unitária, projete um controlador que assegure ao sistema em malha fechada um fator de amortecimento
e um tempo de acomodaçāo
.
b) O que a introdução de um controlador PI produziria na resposta ao degrau deste sistema?
b) O que a introdução de um controlador PI produziria na resposta ao degrau deste sistema?
Passo 1
Beleza, o enunciado pede duas coisas sobre o sistema
em malha fechada com realimentação unitária:
a) Projetar um controlador que garanta ζ=0,5 e tempo de acomodação Ts=2 s.
b) Dizer o que um controlador PI mudaria na resposta ao degrau.
Conteúdo: projeto de compensadores pelo método de lugar das raízes (ou por equivalência de polinômios). Vamos usar:
- Relação entre ζ, ωₙ e Ts:
- Dominant‐pole approximation (ignoramos momentaneamente as duas raízes mais rápidas em –2 e –4 para facilitar o projeto de 2ª ordem).
- Igualação de coeficientes do polinômio característico.
Passo 2
- Primeiro descobrimos ωₙ a partir de ζ e Ts.
Ts=2 s e ζ=0,5 ⇒
Então, queremos um par de pólos dominantes em
- Vamos aproximar o sistema como de segunda ordem:
porquepara frequências em torno de ωₙ=4 rad/s.
Passo 3
- Escolhemos um controlador PD simples:
A malha aberta aproximada fica
O polinômio característico é
Passo 4
- Para termos um segundo‐grau com ζ=0,5 e ωₙ=4, o modelo canônico é
Comparando com nosso polinômio:
- Coeficiente de s:
- Termo constante:
Passo 5
- Pronto! O controlador fica
Com isso, os pólos dominantes aproximados saem em, dando ζ=0.5 e Ts≈2 s.
Passo 6
b) Se, em vez de PD, você meter um PI, ou seja
a gente adiciona um polo na origem (o “I”) e um zero em
- Isso elimina o erro em regime permanente a degrau (tornando o sistema tipo 2).
- Mas o integrador tende a diminuir a margem de fase, aumentando o sobresinal e ralentando um pouco o assentamento.
Resposta
a)
.
b) Um controlador PI zeraria o erro em regime permanente do degrau, mas aumentaria o sobresinal e tornaria a acomodação um pouco mais lenta.
b) Um controlador PI zeraria o erro em regime permanente do degrau, mas aumentaria o sobresinal e tornaria a acomodação um pouco mais lenta.