Exemplo extraído de D.S. Falconer (1977), Introdução à genética quantitativa, 1 áedição. Os dados abaixo ilustram o efeito do gene anão em ratos com 6 semanas de idade, sendo X o número de genes e Y o peso médio dos ratos em gramas. O objetivo é relacionar as duas variáveis com um modelo de regressão linear simples (RLS): Y_{i}=\beta_{0}+\beta_{1} X_{i}+\varepsilon_{i}.
i 1 2 3
X_{i} 0 1 2
Y_{i} 15 12 6
a) Apresente a equação de RLS ajustada.
b) Interprete as estimativas dos parâmetros \beta_{0} e \beta_{1}.
c) Apresente os desvios da regressão e mostre que a soma deles é igual a zero.
d) Calcule e interprete o coeficiente de determinação.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas:
  • (a) apresentar a equação de regressão linear simples ajustada;
  • (b) interpretar as estimativas de \beta_{0} e \beta_{1};
  • (c) apresentar os desvios (resíduos) da regressão e mostrar que a soma deles é zero;
  • (d) calcular e interpretar o coeficiente de determinação.
Informações fornecidas (peguei estes números da tabela do enunciado):
  • Número de observações: n=3.
  • Valores de X_i (número de genes): X_1=0, X_2=1, X_3=2.
  • Valores de Y_i (peso médio em gramas): Y_1=15, Y_2=12, Y_3=6.
Vou usar esses dados para ajustar o modelo de regressão linear simples
Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \varepsilon_i.

Passo 2

Explicando o método (bem devagarinho): o ajuste por quadrados mínimos procura os valores \hat\beta_0 e \hat\beta_1 que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos
\text{SSE}(\beta_0,\beta_1)=\sum_{i=1}^{n} \big(Y_i-(\beta_0+\beta_1 X_i)\big)^2.
Das condições de mínimo (derivadas parciais iguais a zero) obtém-se as chamadas equações normais que levam às fórmulas práticas:
  • Média das X:
\bar X=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i.
  • Média das Y:
\bar Y=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} Y_i.
  • Soma dos quadrados de X em torno da média:
S_{xx}=\sum_{i=1}^{n} (X_i-\bar X)^2.
  • Soma cruzada:
S_{xy}=\sum_{i=1}^{n} (X_i-\bar X)(Y_i-\bar Y).
As estimativas são
\hat\beta_1=\frac{S_{xy}}{S_{xx}},\qquad \hat\beta_0=\bar Y-\hat\beta_1\bar X.
Aqui cada símbolo significa:
  • \bar X e \bar Y: médias amostrais de X e Y;
  • S_{xx} mede a variação de X ao redor da média;
  • S_{xy} mede a covariação entre X e Y;
  • \hat\beta_1 é a inclinação (variação média de Y por unidade de X);
  • \hat\beta_0 é o intercepto (valor previsto de Y quando X=0).

Passo 3

Calcular as médias com os dados (mostrando as contas):
\bar X=\frac{0+1+2}{3}=\frac{3}{3}=1.
\bar Y=\frac{15+12+6}{3}=\frac{33}{3}=11.
Agora S_{xx} e S_{xy}. Vamos montar termos individuais:
Para i=1: X_1-\bar X=0-1=-1, Y_1-\bar Y=15-11=4.
Para i=2: X_2-\bar X=1-1=0, Y_2-\bar Y=12-11=1.
Para i=3: X_3-\bar X=2-1=1, Y_3-\bar Y=6-11=-5.
Agora
S_{xx}=(-1)^2+0^2+1^2=1+0+1=2.
S_{xy}=(-1)(4)+0(1)+1(-5)=-4+0-5=-9.
Portanto a estimativa da inclinação é
\hat\beta_1=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}=\frac{-9}{2}=-4{,}5.

Passo 4

Calcular o intercepto:
\hat\beta_0=\bar Y-\hat\beta_1\bar X=11-(-4{,}5)\cdot 1=11+4{,}5=15{,}5.
Assim a equação de regressão ajustada (a resposta do item a) é
\hat Y = \hat\beta_0 + \hat\beta_1 X = 15{,}5 - 4{,}5\,X.

Passo 5

Interpretação das estimativas (item b), numa linguagem prática e direta:
  • \hat\beta_0=15{,}5: é a previsão do peso médio quando X=0 (ou seja, ratos sem o gene anão). Interpretação: espera-se que ratos sem o gene tenham, em média, 15{,}5 gramas aos 6 semanas.
  • \hat\beta_1=-4{,}5: é a mudança média no peso quando se acrescenta uma unidade em X (um gene a mais). Interpretação: cada gene anão adicional está associado, em média, a uma redução de 4{,}5 gramas no peso dos ratos.

Passo 6

Calcular valores ajustados \hat Y_i e resíduos e_i=Y_i-\hat Y_i (item c), com contas:
  • Para X_1=0: \hat Y_1=15{,}5-4{,}5\cdot 0=15{,}5. Então e_1=15-15{,}5=-0{,}5.
  • Para X_2=1: \hat Y_2=15{,}5-4{,}5\cdot 1=11{,}0. Então e_2=12-11{,}0=1{,}0.
  • Para X_3=2: \hat Y_3=15{,}5-4{,}5\cdot 2=6{,}5. Então e_3=6-6{,}5=-0{,}5.
Lista dos resíduos:
e_1=-0{,}5,\qquad e_2=1{,}0,\qquad e_3=-0{,}5.
Somando-os:
\sum_{i=1}^3 e_i = -0{,}5 + 1{,}0 + (-0{,}5) = 0.
Logo a soma dos resíduos é zero, como era pedido. Explicação rápida do porquê (intuição): uma das condições de otimização por quadrados mínimos força que os resíduos somem zero, o que garante que a reta passa pelo ponto médio (\bar X,\bar Y). (Se quiser, a demonstração algébrica vem das equações normais: \sum (Y_i-\hat\beta_0-\hat\beta_1 X_i)=0.)

Passo 7

Coeficiente de determinação (item d). Definições e contas:
  • Soma total dos quadrados (variação total de Y):
\text{SST}=\sum_{i=1}^n (Y_i-\bar Y)^2.
Usando os desvios já calculados: 4^2+1^2+(-5)^2=16+1+25=42. Assim \text{SST}=42.
  • Soma da regressão (variação explicada):
\text{SSR}=\sum_{i=1}^n (\hat Y_i-\bar Y)^2.
As diferenças \hat Y_i-\bar Y são 4{,}5,\,0,\,-4{,}5; os quadrados: 4{,}5^2=20{,}25, 0^2=0, 4{,}5^2=20{,}25. Soma: 20{,}25+0+20{,}25=40{,}5. Assim \text{SSR}=40{,}5.
  • Soma dos quadrados dos resíduos:
\text{SSE}=\sum_{i=1}^n e_i^2 = (-0{,}5)^2 + 1^2 + (-0{,}5)^2 = 0{,}25 + 1 + 0{,}25 = 1{,}5.
Verificação da identidade: \text{SST}=\text{SSR}+\text{SSE} 42 = 40{,}5 + 1{,}5, ok.
O coeficiente de determinação é
R^2=\frac{\text{SSR}}{\text{SST}}=\frac{40{,}5}{42}=0{,}964285\ldots \approx 0{,}9643.
Interpretação: cerca de 96{,}43\% da variação total dos pesos Y é explicada pela variação em X através da reta ajustada. Em outras palavras, o número de genes ( X ) explica muito bem a variação dos pesos neste conjunto de dados (restam apenas 3{,}57\% da variabilidade não explicada pela regressão).

Resposta

(a) \hat Y = 15{,}5 - 4{,}5\,X.
(b) \hat\beta_0=15{,}5: peso médio previsto quando X=0 (rat0s sem o gene) é 15{,}5 g; \hat\beta_1=-4{,}5: cada gene anão adicional reduz, em média, 4{,}5 g no peso.
(c) Resíduos: e_1=-0{,}5,\; e_2=1{,}0,\; e_3=-0{,}5. Soma dos resíduos: -0{,}5+1{,}0-0{,}5=0.
(d) R^2=\dfrac{40{,}5}{42}=0{,}964285\ldots \approx 0{,}9643 (ou 96{,}43\%): proporção da variação de Y explicada por X.

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