Exemplo extraído de D.S. Falconer (1977), Introdução à genética quantitativa, 1 áedição. Os dados abaixo ilustram o efeito do gene anão em ratos com 6 semanas de idade, sendo
o número de genes e
o peso médio dos ratos em gramas. O objetivo é relacionar as duas variáveis com um modelo de regressão linear simples (RLS):
.
1
2
3
0
1
2
15
12
6
a) Apresente a equação de RLS ajustada.
b) Interprete as estimativas dos parâmetros
e
.
c) Apresente os desvios da regressão e mostre que a soma deles é igual a zero.
d) Calcule e interprete o coeficiente de determinação.
|
|
1 | 2 | 3 |
|
|
0 | 1 | 2 |
|
|
15 | 12 | 6 |
b) Interprete as estimativas dos parâmetros
c) Apresente os desvios da regressão e mostre que a soma deles é igual a zero.
d) Calcule e interprete o coeficiente de determinação.
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas:
- (a) apresentar a equação de regressão linear simples ajustada;
- (b) interpretar as estimativas de
e ; - (c) apresentar os desvios (resíduos) da regressão e mostrar que a soma deles é zero;
- (d) calcular e interpretar o coeficiente de determinação.
Informações fornecidas (peguei estes números da tabela do enunciado):
- Número de observações:
. - Valores de
(número de genes): , , . - Valores de
(peso médio em gramas): , , .
Vou usar esses dados para ajustar o modelo de regressão linear simples
Passo 2
Explicando o método (bem devagarinho): o ajuste por quadrados mínimos procura os valores
e
que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos
Das condições de mínimo (derivadas parciais iguais a zero) obtém-se as chamadas equações normais que levam às fórmulas práticas:
- Média das
:
- Média das
:
- Soma dos quadrados de
em torno da média:
- Soma cruzada:
As estimativas são
Aqui cada símbolo significa:
-
e : médias amostrais de e ; -
mede a variação de ao redor da média; -
mede a covariação entre e ; -
é a inclinação (variação média de por unidade de ); -
é o intercepto (valor previsto de quando ).
Passo 3
Calcular as médias com os dados (mostrando as contas):
Agora
e
. Vamos montar termos individuais:
Para
:
,
.
Para :
,
.
Para :
,
.
Para
Para
Agora
Portanto a estimativa da inclinação é
Passo 4
Calcular o intercepto:
Assim a equação de regressão ajustada (a resposta do item a) é
Passo 5
Interpretação das estimativas (item b), numa linguagem prática e direta:
-
: é a previsão do peso médio quando (ou seja, ratos sem o gene anão). Interpretação: espera-se que ratos sem o gene tenham, em média, gramas aos 6 semanas. -
: é a mudança média no peso quando se acrescenta uma unidade em (um gene a mais). Interpretação: cada gene anão adicional está associado, em média, a uma redução de gramas no peso dos ratos.
Passo 6
Calcular valores ajustados
e resíduos
(item c), com contas:
- Para
: . Então . - Para
: . Então . - Para
: . Então .
Lista dos resíduos:
Somando-os:
Logo a soma dos resíduos é zero, como era pedido. Explicação rápida do porquê (intuição): uma das condições de otimização por quadrados mínimos força que os resíduos somem zero, o que garante que a reta passa pelo ponto médio
. (Se quiser, a demonstração algébrica vem das equações normais:
.)
Passo 7
Coeficiente de determinação (item d). Definições e contas:
- Soma total dos quadrados (variação total de
):
Usando os desvios já calculados:
. Assim
.
- Soma da regressão (variação explicada):
As diferenças
são
; os quadrados:
,
,
. Soma:
. Assim
.
- Soma dos quadrados dos resíduos:
Verificação da identidade:
dá
, ok.
O coeficiente de determinação é
Interpretação: cerca de
da variação total dos pesos
é explicada pela variação em
através da reta ajustada. Em outras palavras, o número de genes (
) explica muito bem a variação dos pesos neste conjunto de dados (restam apenas
da variabilidade não explicada pela regressão).
Resposta
(a)
(b)
: peso médio previsto quando
(rat0s sem o gene) é
g;
: cada gene anão adicional reduz, em média,
g no peso.
(c) Resíduos:
. Soma dos resíduos:
(d)
(ou
): proporção da variação de
explicada por
.