(CN 2007) Uma criação de 12 aves do tipo A consome um saco de ração K em exatamente 30 dias e uma criação de 6 aves tipo B consome um saco de ração K, igual ao primeiro, em exatamente 10 dias. Inicialmente, tem-se um saco de ração K para cada um dos tipos de aves mencionados. No fim do quinto dia, a ração disponível para as aves do tipo B estragou-se, obrigando a distribuição de toda a ração restante para os dois tipos de aves. Assim sendo, quantos dias inteiros vai durar a ração restante para alimentar todos os animais na forma regular?
a) Cinco
b) Seis
c) Sete
d) Oito

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (peguei todos os números do enunciado):
  • Do tipo A: 12 aves consomem 1 saco K em 30 dias.
  • Do tipo B: 6 aves consomem 1 saco K em 10 dias.
  • Inicialmente há 1 saco K para as aves do tipo A e 1 saco K para as aves do tipo B.
  • No fim do 5-o dia, a ração destinada às aves do tipo B estraga (fica inútil).
  • Após o estrago, toda a ração restante e utilizável (isto é, a que sobrou do saco do tipo A, já que a do tipo B estragou) é distribuída para alimentar ambos os tipos de aves na forma regular (cada ave continua com seu consumo habitual).
    O que o enunciado pede:
  • Quantos dias inteiros a ração restante vai durar para alimentar todas as aves (os 12 de A e os 6 de B) à taxa habitual?

Passo 2

Entender consumo como “taxa”: para esse tipo de problema usamos a ideia de “taxa de consumo” (quantos sacos são consumidos por dia).
  • Se um grupo consome 1 saco em T dias, a taxa do grupo é \dfrac{1}{T} saco por dia.
    Vou calcular as taxas por grupo (pegando os números do enunciado).

Passo 3

Taxas de consumo dos grupos:
  • Grupo A (12 aves): taxa do grupo =\dfrac{1}{30} saco por dia.
  • Grupo B (6 aves): taxa do grupo =\dfrac{1}{10} saco por dia.
    Explicação rápida: por exemplo, como 12 aves A gastam 1 saco em 30 dias, por dia o grupo A gasta \dfrac{1}{30} saco.

Passo 4

Quanto foi consumido nos primeiros 5 dias e quanto sobrou em cada saco (usei as taxas calculadas no passo anterior):
  • Consumo do grupo A em 5 dias: 5\cdot\dfrac{1}{30}=\dfrac{5}{30}=\dfrac{1}{6} saco.
    Portanto, restante no saco de A após 5 dias: 1-\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{6} saco.
  • Consumo do grupo B em 5 dias: 5\cdot\dfrac{1}{10}=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2} saco.
    Portanto, restante no saco de B após 5 dias: 1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2} saco.
    Mas o enunciado diz que a ração disponível para B estragou-se no fim do quinto dia, então o restante do saco de B ( \dfrac{1}{2} saco) fica inutilizável. A única ração utilizável a partir do fim do dia 5 é o que sobrou do saco de A, isto é \dfrac{5}{6} saco.

Passo 5

Quando a ração restante ( \dfrac{5}{6} saco) for distribuída para todos os animais, a taxa de consumo total por dia é a soma das taxas dos dois grupos (pois ambos serão alimentados juntos):
  • Taxa total por dia =\dfrac{1}{30}+\dfrac{1}{10}=\dfrac{1}{30}+\dfrac{3}{30}=\dfrac{4}{30}=\dfrac{2}{15} saco por dia.
    Agora calculo por quantos dias essa ração restante de \dfrac{5}{6} saco vai durar:
\text{dias}=\dfrac{\text{quantidade disponível}}{\text{taxa total}}=\dfrac{\tfrac{5}{6}}{\tfrac{2}{15}}=\tfrac{5}{6}\cdot\tfrac{15}{2}=\tfrac{75}{12}=6{,}25\\ \text{dias}.í

Passo 6

O enunciado pede “quantos dias inteiros” a ração restante vai durar. Como a ração dura 6{,}25 dias no total, o número de dias inteiros completos que dá para alimentar todos é 6 dias inteiros.

Resposta

b) Seis

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