(FGV 2017) As torneiras A, B e C, que operam com vazão constante, podem, cada uma, encher um reservatório vazio em 60 horas, 48 horas e 80 horas, respectivamente. Para encher esse mesmo reservatório vazio, inicialmente abre-se a torneira A por quatro horas e, em seguida, fecha-se a torneira A e abre-se a torneira B por quatro horas. Por fim, fecha-se a torneira B e abre-se a torneira C até que o reservatório se encha por completo. De acordo com o processo descrito, o tempo necessário e suficiente para encher o reservatório por completo e sem transbordamento é de
a) 84 horas.
b) 76 horas.
c) 72 horas.
d) 64 horas.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A torneira A enche o reservatório sozinha em 60 horas.
  • A torneira B enche o reservatório sozinha em 48 horas.
  • A torneira C enche o reservatório sozinha em 80 horas.
    O procedimento descrito é:
  1. Abre-se A por 4 horas e depois fecha-se A.
  2. Abre-se B por 4 horas e depois fecha-se B.
  3. Abre-se C até o reservatório ficar cheio (sem transbordar).
    A pergunta: qual é o tempo total necessário e suficiente para encher o reservatório por completo seguindo esse processo?

Passo 2

Conceito básico (explicando as fórmulas que vou usar):
  • Defino as taxas (vazões) como fração do reservatório preenchida por hora.
    • r_A = taxa da torneira A = \dfrac{1}{60} reservatório por hora.
    • r_B = taxa da torneira B = \dfrac{1}{48} reservatório por hora.
    • r_C = taxa da torneira C = \dfrac{1}{80} reservatório por hora.
  • Regra usada: fração preenchida por uma torneira em um tempo t é \text{fração} = r \cdot tçã.
  • Quando as torneiras operam em tempos diferentes (sequencialmente), a fração total preenchida é a soma das frações preenchidas em cada etapa.

Passo 3

Calcular a fração preenchida por A durante as 4 horas:
\text{fração}_A = 4 \cdot r_A = 4 \cdot \dfrac{1}{60} = \dfrac{4}{60} = \dfrac{1}{15}.çã
Interpretação: após a etapa com A, está preenchido \dfrac{1}{15} do reservatório.

Passo 4

Calcular a fração preenchida por B durante as 4 horas:
\text{fração}_B = 4 \cdot r_B = 4 \cdot \dfrac{1}{48} = \dfrac{4}{48} = \dfrac{1}{12}.çã
Interpretação: durante a etapa com B, encheu-se mais \dfrac{1}{12} do reservatório.

Passo 5

Somar o que já foi preenchido após A e B:
\text{fração}_{A+B} = \dfrac{1}{15} + \dfrac{1}{12}.çã
Fazendo a soma com denominador comum 60:
\dfrac{1}{15} = \dfrac{4}{60},\qquad \dfrac{1}{12} = \dfrac{5}{60},
\text{fração}_{A+B} = \dfrac{4}{60} + \dfrac{5}{60} = \dfrac{9}{60} = \dfrac{3}{20}.çã
Portanto, após as duas primeiras etapas está preenchido \dfrac{3}{20} do reservatório. A fração restante a encher é
\text{restante} = 1 - \dfrac{3}{20} = \dfrac{17}{20}.

Passo 6

Calcular o tempo que a torneira C precisa para preencher a fração restante \dfrac{17}{20}. Como r_C=\dfrac{1}{80}, o tempo t_C satisfaz
t_C = \dfrac{\text{restante}}{r_C} = \dfrac{\tfrac{17}{20}}{\tfrac{1}{80}} = \dfrac{17}{20}\cdot 80.
Simplificando 80/20=4:
t_C = 17 \cdot 4 = 68\\ \text{horas}.

Passo 7

Somar todos os tempos: 4 horas com A, 4 horas com B, 68 horas com C:
\text{tempo total} = 4 + 4 + 68 = 76\\ \text{horas}.

Resposta

76 horas.

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