(FGV 2017) As torneiras A, B e C, que operam com vazão constante, podem, cada uma, encher um reservatório vazio em 60 horas, 48 horas e 80 horas, respectivamente. Para encher esse mesmo reservatório vazio, inicialmente abre-se a torneira A por quatro horas e, em seguida, fecha-se a torneira A e abre-se a torneira B por quatro horas. Por fim, fecha-se a torneira B e abre-se a torneira C até que o reservatório se encha por completo. De acordo com o processo descrito, o tempo necessário e suficiente para encher o reservatório por completo e sem transbordamento é de
a) 84 horas.
b) 76 horas.
c) 72 horas.
d) 64 horas.
a) 84 horas.
b) 76 horas.
c) 72 horas.
d) 64 horas.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- A torneira A enche o reservatório sozinha em
horas. - A torneira B enche o reservatório sozinha em
horas. - A torneira C enche o reservatório sozinha em
horas.
O procedimento descrito é:
- Abre-se A por
horas e depois fecha-se A. - Abre-se B por
horas e depois fecha-se B. - Abre-se C até o reservatório ficar cheio (sem transbordar).
A pergunta: qual é o tempo total necessário e suficiente para encher o reservatório por completo seguindo esse processo?
Passo 2
Conceito básico (explicando as fórmulas que vou usar):
- Defino as taxas (vazões) como fração do reservatório preenchida por hora.
-
= taxa da torneira A = reservatório por hora. -
= taxa da torneira B = reservatório por hora. -
= taxa da torneira C = reservatório por hora.
-
- Regra usada: fração preenchida por uma torneira em um tempo
é . - Quando as torneiras operam em tempos diferentes (sequencialmente), a fração total preenchida é a soma das frações preenchidas em cada etapa.
Passo 3
Calcular a fração preenchida por A durante as
horas:
Interpretação: após a etapa com A, está preenchido
do reservatório.
Passo 4
Calcular a fração preenchida por B durante as
horas:
Interpretação: durante a etapa com B, encheu-se mais
do reservatório.
Passo 5
Somar o que já foi preenchido após A e B:
Fazendo a soma com denominador comum
:
Portanto, após as duas primeiras etapas está preenchido
do reservatório. A fração restante a encher é
Passo 6
Calcular o tempo que a torneira C precisa para preencher a fração restante
. Como
, o tempo
satisfaz
Simplificando
:
Passo 7
Somar todos os tempos:
horas com A,
horas com B,
horas com C:
Resposta
76 horas.