(CMRJ 2012) Incumbidos de distribuir 380 envelopes de provas, Jean e Marcelo dividiram entre si essa quantidade, de modo que Jean necessitou de 110 \% do tempo gasto por Marcelo. Se Marcelo, por questões de logística, trabalhou com 80% da capacidade de Jean, é correto afirmar que:
a) Jean distribuiu 220 envelopes.
b) Jean distribuiu 50 envelopes a mais que Marcelo.
c) Jean e Marcelo distribuíram a mesma quantidade de envelopes.
d) Marcelo distribuiu 200 envelopes.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • O enunciado nos diz que Jean e Marcelo dividiram a distribuição de 380 envelopes, ou seja:
\text{Total: }380\\ \text{envelopes.}
  • Informações dadas:
    • Jean necessitou de 110\% do tempo gasto por Marcelo. Em notação matemática: o tempo de Jean é 110\% do tempo de Marcelo.
    • Marcelo trabalhou com 80\% da capacidade de Jean. Aqui “capacidade” significa taxa de trabalho (envelopes por unidade de tempo).
  • O que a questão pergunta (implícito nas alternativas): determinar quantos envelopes cada um distribuiu e, com isso, identificar qual alternativa está correta (a, b, c ou d).

Passo 2

Definir variáveis e conceitos básicos (isso é importante para montar as equações corretamente).
  • Seja r_J a taxa de Jean (envelopes por unidade de tempo).
  • Seja r_M a taxa de Marcelo (envelopes por unidade de tempo).
  • Seja t_J o tempo que Jean trabalhou.
  • Seja t_M o tempo que Marcelo trabalhou.
  • O número de envelopes distribuídos por cada um é dado por “taxa × tempo”. Ou seja:
\text{Jean: }n_J = r_J \cdot t_J, \qquad \text{Marcelo: }n_M = r_M \cdot t_M.
Explicação rápida do conceito: trabalho realizado = velocidade (taxa) × tempo. Aqui “trabalho” é contar envelopes.

Passo 3

Traduzir as informações percentuais para equações numéricas.
  • “Jean necessitou de 110\% do tempo gasto por Marcelo” significa que
t_J = 110\% \times t_M = 1,10\, t_M.
(lembrando que 110\% = 1,10 em forma decimal).
  • “Marcelo trabalhou com 80\% da capacidade de Jean” significa que
r_M = 80\% \times r_J = 0,80\, r_J.
(ou seja, a taxa de Marcelo é 0,80 vezes a taxa de Jean).

Passo 4

Escrever a equação do total de envelopes usando as relações achadas.
Sabendo que o total é 380, temos
n_J + n_M = 380.
Substituindo n_J = r_J t_J e n_M = r_M t_M e as relações entre tempos e taxas:
r_J\,(1,10\, t_M) \;+\; (0,80\, r_J)\,t_M \;=\; 380.
Fatorando r_J t_M:
(1,10 + 0,80)\,r_J t_M = 380.

Passo 5

Calcular r_J t_M a partir da soma dos coeficientes.
Somando 1,10 + 0,80 obtemos 1,90. Então
1,90\, r_J t_M = 380.
Isolando r_J t_M:
r_J t_M = \frac{380}{1,90}.
Calculemos essa divisão de forma exata. Note que 1,90 = \tfrac{19}{10}, então
\frac{380}{1,90} = 380 \cdot \frac{10}{19} = \frac{3800}{19}.
Como 19 \times 200 = 3800, concluímos
r_J t_M = 200.

Passo 6

Calcular quantos envelopes cada um distribuiu usando r_J t_M = 200.
  • Jean: \;n_J = r_J t_J = r_J \cdot (1,10\, t_M) = 1,10\,(r_J t_M).
    Substituindo r_J t_M = 200:
n_J = 1,10 \times 200 = 220.
  • Marcelo: \;n_M = r_M t_M = 0,80\, r_J t_M.
    Substituindo r_J t_M = 200:
n_M = 0,80 \times 200 = 160.
Checagem rápida: n_J + n_M = 220 + 160 = 380, que confere com o total dado.

Passo 7

Interpretar os resultados em relação às alternativas:
  • Alternativa (a): “Jean distribuiu 220 envelopes.” — isso coincide com o valor que calculamos para n_J.
  • Alternativa (b): “Jean distribuiu 50 envelopes a mais que Marcelo.” — na verdade a diferença é 220 - 160 = 60, não 50.
  • Alternativa (c): “Jean e Marcelo distribuíram a mesma quantidade de envelopes.” — falso, pois 220 \neq 160.
  • Alternativa (d): “Marcelo distribuiu 200 envelopes.” — falso, pois n_M = 160.

Resposta

a) Jean distribuiu 220 envelopes.

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