(CMRJ 2012) Incumbidos de distribuir 380 envelopes de provas, Jean e Marcelo dividiram entre si essa quantidade, de modo que Jean necessitou de
do tempo gasto por Marcelo. Se Marcelo, por questões de logística, trabalhou com 80% da capacidade de Jean, é correto afirmar que:
a) Jean distribuiu 220 envelopes.
b) Jean distribuiu 50 envelopes a mais que Marcelo.
c) Jean e Marcelo distribuíram a mesma quantidade de envelopes.
d) Marcelo distribuiu 200 envelopes.
a) Jean distribuiu 220 envelopes.
b) Jean distribuiu 50 envelopes a mais que Marcelo.
c) Jean e Marcelo distribuíram a mesma quantidade de envelopes.
d) Marcelo distribuiu 200 envelopes.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que ele pede.
- O enunciado nos diz que Jean e Marcelo dividiram a distribuição de
envelopes, ou seja:
- Informações dadas:
- Jean necessitou de
do tempo gasto por Marcelo. Em notação matemática: o tempo de Jean é do tempo de Marcelo. - Marcelo trabalhou com
da capacidade de Jean. Aqui “capacidade” significa taxa de trabalho (envelopes por unidade de tempo).
- Jean necessitou de
- O que a questão pergunta (implícito nas alternativas): determinar quantos envelopes cada um distribuiu e, com isso, identificar qual alternativa está correta (a, b, c ou d).
Passo 2
Definir variáveis e conceitos básicos (isso é importante para montar as equações corretamente).
- Seja
a taxa de Jean (envelopes por unidade de tempo). - Seja
a taxa de Marcelo (envelopes por unidade de tempo). - Seja
o tempo que Jean trabalhou. - Seja
o tempo que Marcelo trabalhou. - O número de envelopes distribuídos por cada um é dado por “taxa × tempo”. Ou seja:
Explicação rápida do conceito: trabalho realizado = velocidade (taxa) × tempo. Aqui “trabalho” é contar envelopes.
Passo 3
Traduzir as informações percentuais para equações numéricas.
- “Jean necessitou de
do tempo gasto por Marcelo” significa que
(lembrando que
em forma decimal).
- “Marcelo trabalhou com
da capacidade de Jean” significa que
(ou seja, a taxa de Marcelo é
vezes a taxa de Jean).
Passo 4
Escrever a equação do total de envelopes usando as relações achadas.
Sabendo que o total é
, temos
Substituindo
e
e as relações entre tempos e taxas:
Fatorando
:
Passo 5
Calcular
a partir da soma dos coeficientes.
Somando
obtemos
. Então
Isolando
:
Calculemos essa divisão de forma exata. Note que
, então
Como
, concluímos
Passo 6
Calcular quantos envelopes cada um distribuiu usando
.
- Jean:
.
Substituindo:
- Marcelo:
.
Substituindo:
Checagem rápida:
, que confere com o total dado.
Passo 7
Interpretar os resultados em relação às alternativas:
- Alternativa (a): “Jean distribuiu
envelopes.” — isso coincide com o valor que calculamos para . - Alternativa (b): “Jean distribuiu
envelopes a mais que Marcelo.” — na verdade a diferença é , não . - Alternativa (c): “Jean e Marcelo distribuíram a mesma quantidade de envelopes.” — falso, pois
. - Alternativa (d): “Marcelo distribuiu
envelopes.” — falso, pois .
Resposta
a) Jean distribuiu
envelopes.