(P1-2016) Para que a função
f(x)= \begin{cases}\frac{\left|x^{2}+2 x-3\right|}{x-1}, & \text { se } x<1 \\\ x+k, & \text { se } x \geq 1\end{cases}
seja contínua em \mathbb{R} o valor da constante k deve ser:

Passo 1

O enunciado define
f(x)= \begin{cases} \dfrac{\lvert x^{2}+2x-3\rvert}{x-1}, & x<1,\\[6pt] x+k, & x\ge1 \end{cases}
e pede k para que f seja contínua em \mathbb{R}. As duas fórmulas são contínuas em seus domínios, então o único ponto a verificar é x=1: precisamos que
\lim_{x\to1^-}f(x)=f(1).]

Passo 2

Para x<1 fatoramos o numerador:
x^{2}+2x-3=(x-1)(x+3),
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\frac{\lvert x^{2}+2x-3\rvert}{x-1} =\frac{\lvert x-1\rvert\,\lvert x+3\rvert}{x-1}.
Em x<1 temos x-1<0 e x+3>0, então \lvert x-1\rvert=1-x e \lvert x+3\rvert=x+3. Assim
f(x)=\frac{(1-x)(x+3)}{x-1} =-\,(x+3).

Passo 3

O limite pela esquerda em x=1 é
\lim_{x\to1^-}f(x) =\lim_{x\to1^-}\bigl[-(x+3)\bigr] =-(1+3)=-4.

Passo 4

Pelo ramo de x\ge1 temos f(1)=1+k. Para continuidade em 1 requeremos
1+k=-4
e daí
k=-5.

Resposta

k=-5

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