(P1-2016) Para que a função f(x)= \begin{cases}\frac{\left|x^{2}+2 x-3\right|}{x-1}, & \text { se } x<1 \\\ x+k, & \text { se } x \geq 1\end{cases} seja contínua em \mathbb{R} o valor da constante k deve ser: Passo 1O enunciado define f(x)= \begin{cases} \dfrac{\lvert x^{2}+2x-3\rvert}{x-1}, & x<1,\\[6pt] x+k, & x\ge1 \end{cases} e pede k para que f seja contínua em \mathbb{R}. As duas fórmulas são contínuas em seus domínios, então o único ponto a verificar é x=1: precisamos que \lim_{x\to1^-}f(x)=f(1).] Passo 2Para x<1 fatoramos o numerador: x^{2}+2x-3=(x-1)(x+3), logo \frac{\lvert x^{2}+2x-3\rvert}{x-1} =\frac{\lvert x-1\rvert\,\lvert x+3\rvert}{x-1}. Em x<1 temos x-1<0 e x+3>0, então \lvert x-1\rvert=1-x e \lvert x+3\rvert=x+3. Assim f(x)=\frac{(1-x)(x+3)}{x-1} =-\,(x+3). Passo 3O limite pela esquerda em x=1 é \lim_{x\to1^-}f(x) =\lim_{x\to1^-}\bigl[-(x+3)\bigr] =-(1+3)=-4. Passo 4Pelo ramo de x\ge1 temos f(1)=1+k. Para continuidade em 1 requeremos 1+k=-4 e daí k=-5. Resposta k=-5 MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionados(P1-2016) Para que a função f(x)= \begin{cases}\frac{\left|x^{2}+2 x-3\right|}{x-1}, & \text { se } x<1 \\\ x+k, & \text { se } x \geq 1\end{cases} seja contínua em \mathbb{R} o valor da constante k deve ser: Seja f uma função derivável em x_{0} e considere a função d(x)=f(x)-f^{\prime}(a)(x-a)-f(a). Calcule d(a) e d^{\prime}(a).