(P1-2016) Para que a função
f(x)= \begin{cases}\frac{\left|x^{2}+2 x-3\right|}{x-1}, & \text { se } x<1 \\\ x+k, & \text { se } x \geq 1\end{cases}
seja contínua em \mathbb{R} o valor da constante k deve ser:

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= \begin{cases} \dfrac{\bigl|x^{2}+2x-3\bigr|}{x-1}, & x<1,\\[6pt] x+k, & x\ge1, \end{cases}
e pede o valor de k que torna f contínua em \mathbb{R}. Como ambas as regras são contínuas em seus domínios, só precisamos igualar o limite à esquerda em x=1 com o valor da peça de direita em x=1.]

Passo 2

Para achar \lim_{x\to1^-}f(x), note que
x^{2}+2x-3 = (x-1)(x+3).
Em x<1 suficientemente próximo de 1, temos x-1<0 e x+3>0, logo
|x^{2}+2x-3| = -\,(x-1)(x+3).
Assim, para x<1 perto de 1,
f(x)=\frac{-\,(x-1)(x+3)}{x-1} = -(x+3).

Passo 3

Portanto
\lim_{x\to1^-}f(x) = -\bigl(1+3\bigr) = -4.

Passo 4

Na peça de x\ge1, f(1)=1+k. Para continuidade em x=1 devemos ter
1+k = \lim_{x\to1^-}f(x) = -4,
o que dá
k = -5.

Resposta

-5

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