Em 2021, foram consumidos 5,5 bilhões de maços de cigarros. O preço médio de venda foi de RS7,61 o maço. A elasticidade-preço da demanda de cigarros era de -0,4. Usando essas informações, obtenha uma equação linear de demanda por cigarros (\mathrm{Q}=\mathrm{a}-\mathrm{bP}; em que Q é a quantidade demandada e P o preço). (2)

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (peguei estes números do enunciado):
  • Quantidade consumida em 2021: \;Q_0 = 5,5 bilhões de maços.
  • Preço médio de venda: \;P_0 = 7,61 reais por maço.
  • Elasticidade-preço da demanda no ponto: \varepsilon = -0,4.
O que o problema pede:
  • Determinar uma equação linear de demanda da forma \;Q = a - bP, isto é, encontrar os parâmetros \;a e \;b.

Passo 2

Entendendo o conceito que vamos usar (aula rápida e prática).
  • A elasticidade-preço da demanda \varepsilon mede a variação percentual da quantidade demandada quando o preço varia 1\%. Para qualquer função Q(P) diferenciável, a elasticidade no ponto é dada por
\varepsilon = \frac{dQ}{dP}\cdot\frac{P}{Q}.
  • No caso de uma demanda linear \;Q = a - bP, a derivada é constante e vale \dfrac{dQ}{dP} = -b. Então, substituindo na fórmula da elasticidade:
\varepsilon = (-b)\cdot\frac{P}{Q}.
Essa fórmula relaciona a elasticidade revisada no ponto (P,Q) com a inclinação b da reta de demanda.

Passo 3

Isolando b da expressão da elasticidade.
A partir de
\varepsilon = -b\cdot\frac{P}{Q}
temos
-b = \varepsilon\cdot\frac{Q}{P}
e portanto
b = -\varepsilon\cdot\frac{Q}{P}.
Vou usar o ponto conhecido (P_0,Q_0) para calcular b.

Passo 4

Calcular b substituindo os valores numéricos.
Substituindo \varepsilon = -0,4, \;Q_0 = 5,5 e \;P_0 = 7,61:
b = -(-0,4)\cdot\frac{5,5}{7,61} = 0,4\cdot\frac{5,5}{7,61}.
Agora faço a conta passo a passo:
\frac{5,5}{7,61}\approx 0,7228,
b \approx 0,4\times 0,7228 \approx 0,2891.
Assim, \;b\approx 0,2891. A unidade de b é “bilhões de maços por real” (pois Q está em bilhões e P em reais).

Passo 5

Calcular a usando que a reta passa por (P_0,Q_0).
Da equação \;Q = a - bP tem-se
a = Q + bP.
Substituindo \;Q_0 = 5,5, \;b\approx 0,2891 e \;P_0 = 7,61:
a \approx 5,5 + 0,2891\times 7,61.
Faço a multiplicação:
0,2891\times 7,61 \approx 2,199,
portanto
a \approx 5,5 + 2,199 \approx 7,699.
A unidade de a é “bilhões de maços”.

Passo 6

Interpretação rápida e verificação (para te deixar mais confiante).
  • A equação obtida é aproximadamente \;Q = 7,699 - 0,2891\,P, com Q em bilhões de maços e P em reais.
  • Verificação do sinal e da ordem de grandeza: em P_0=7,61 a quantidade calculada é Q \approx 7,699 - 0,2891\times 7,61 \approx 5,5, consistente com o dado inicial. A elasticidade em (P_0,Q_0) volta a ser \varepsilon = -b\,(P_0/Q_0)\approx -0,4, como pedido.

Resposta

Q = 7,699 - 0,289\,P

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