Em 2021, foram consumidos 5,5 bilhões de maços de cigarros. O preço médio de venda foi de RS7,61 o maço. A elasticidade-preço da demanda de cigarros era de
. Usando essas informações, obtenha uma equação linear de demanda por cigarros
; em que Q é a quantidade demandada e P o preço). (2)
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (peguei estes números do enunciado):
- Quantidade consumida em 2021:
bilhões de maços. - Preço médio de venda:
reais por maço. - Elasticidade-preço da demanda no ponto:
.
O que o problema pede:
- Determinar uma equação linear de demanda da forma
, isto é, encontrar os parâmetros e .
Passo 2
Entendendo o conceito que vamos usar (aula rápida e prática).
- A elasticidade-preço da demanda
mede a variação percentual da quantidade demandada quando o preço varia . Para qualquer função diferenciável, a elasticidade no ponto é dada por
- No caso de uma demanda linear
, a derivada é constante e vale . Então, substituindo na fórmula da elasticidade:
Essa fórmula relaciona a elasticidade revisada no ponto
com a inclinação
da reta de demanda.
Passo 3
Isolando
da expressão da elasticidade.
A partir de
A partir de
temos
e portanto
Vou usar o ponto conhecido
para calcular
.
Passo 4
Calcular
substituindo os valores numéricos.
Substituindo ,
e
:
Substituindo
Agora faço a conta passo a passo:
Assim,
. A unidade de
é “bilhões de maços por real” (pois
está em bilhões e
em reais).
Passo 5
Calcular
usando que a reta passa por
.
Da equação tem-se
Da equação
Substituindo
,
e
:
Faço a multiplicação:
portanto
A unidade de
é “bilhões de maços”.
Passo 6
Interpretação rápida e verificação (para te deixar mais confiante).
- A equação obtida é aproximadamente
, com em bilhões de maços e em reais. - Verificação do sinal e da ordem de grandeza: em
a quantidade calculada é , consistente com o dado inicial. A elasticidade em volta a ser , como pedido.