P2 Q3 2023

  1. ( 2,5 pontos) As seguintes cinco matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, determine os valores de x e y (quando houver y ) para os quais o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas.
    (a) (0,5 ponto )\left[\begin{array}{ll}5 & 3 \\\ x & 2\end{array}\right], 1 única solução para qualquer \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}\right).
    (b) (0,5 ponto )\left[\begin{array}{ll}2 & x \\\\ 3 & 1 \\\\ 1 & y\end{array}\right], 0 ou infinitas soluções a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right).
    (c) (0,5 ponto) \left[\begin{array}{lll}4 & 2 & x \\\\ 3 & y & 2\end{array}\right], infinitas soluções para qualquer \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}\right).
    (d) (0,5 ponto) \left[\begin{array}{lll}x & 6 & 2 \\\\ 3 & 4 & y\end{array}\right], 0 ou infinitas soluções a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}\right).
    (e) (0,5 ponto) \left[\begin{array}{lll}0 & x & 4 \\\\ 1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 4 & 3\end{array}\right], 0 ou infinitas soluções a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right).
  2. (2,0 pontos) Sejam os vetores \boldsymbol{u}=(1,0,-2), \boldsymbol{v}=(1,3,1) e \boldsymbol{w}=(-1,1,1) e considere as seguintes matrizes:
U=\left[\begin{array}{lll} x & 1 & 2 \\\\ 0 & 3 & 5 \\\\ 2 & 2 & 2 \end{array}\right], \quad V=\left[\begin{array}{lll} 1 & 1 & 2 \\\\ 0 & y & 1 \\\\ 1 & 3 & 2 \end{array}\right], \text { e } \quad W=\left[\begin{array}{lll} 2 & 1 & 2 \\\\ 1 & 4 & 1 \\\\ 2 & 3 & z \end{array}\right]
Determine x, y e z de forma que os vetores \tilde{\boldsymbol{u}}=U \boldsymbol{u}, \tilde{\boldsymbol{v}}=V \boldsymbol{v} e \tilde{\boldsymbol{w}}=W \boldsymbol{w} sejam ortogon ais.
3. ( 3,0 pontos) Considere um mercado com duas firmas: 1 e 2. Suponh que a demanda pelo bem produzido pela firma 1 seja dada por
q_{1}\left(p_{1}, m_{1}, p_{2}, m_{2}\right)=f_{1}\left(p_{1}, m_{1}\right)+f_{2}\left(p_{2}, m_{2}\right)
onde q_{1} é a quantidade demandada pelo bem da firma 1, p_{1} é o preço cobrado pela firma 1 , m_{1} é o gasto com marketing da firma 1, p_{2} é o preço do bem produzido pela firma 2 e m_{2} é o gasto com marketing da firma 2. A função f_{1} é duas vezes continuamente diferenciável e a função f_{2} é continuamente diferenciável. O custo da firma 1 é dado por c\left(q_{1}, m_{1}\right)=c q_{1}+m_{1}, onde c>0. Assim, o lucro da firma 1 é
\pi\left(p_{1}, m_{1}, p_{2}, m_{2}\right)=\left(p_{1}-c\right)\left[f_{1}\left(p_{1}, m_{1}\right)+f_{2}\left(p_{2}, m_{2}\right)\right]-m_{1}
A firma 1 escolhe o seu preço, p_{1}, e o seu gasto com marketing, m_{1}, de forma a maximizar o seu lucro. Admita que
\begin{gathered} \frac{\partial f_{1}\left(p_{1}, m_{1}\right)}{\partial p_{1}}<0, \frac{\partial^{2} f_{1}\left(p_{1}, m_{1}\right)}{\partial p_{1}^{2}}<0, \frac{\partial f_{1}\left(p_{1}, m_{1}\right)}{\partial m_{1}}>0 \\\ \frac{\partial f_{2}\left(p_{2}, m_{2}\right)}{\partial p_{2}}>0 \text { e } \frac{\partial f_{2}\left(p_{2}, m_{2}\right)}{\partial m_{2}}<0 \end{gathered}
Com base nessas informações, responda os itens a seguir.
(a) (1,0 ponto) Assumindo solução interior, p_{1}^{*}>0 e m_{1}^{*}>0, encontre as condições de primeira ordem para maximização de lucro da firma 1 . Com base no que você encontrou, determine o sinal (positivo ou negativo) de p_{1}^{*}-c e de q_{1}\left(p_{1}^{*}, m_{1}^{*}, p_{2}, m_{2}\right).
(b) ( 1,0 ponto) Encontre as condições suficientes de segunda ordem para que ( p_{1}^{*}, m_{1}^{*} ) que resolve o item anterior constitua um ponto de máximo local estrito. Qual condição deve ser imposta sobre \frac{\partial^{2} f_{1}\left(p_{1}^{*}, m_{1}^{*}\right)}{\partial m_{1}^{2}} ?
(c) (1,0 ponto) Calcule o impacto de uma mudança infinitesimal em m_{2} sobre p_{1}^{*} e m_{1}^{*}. Analise os sin ais.
4. (2,5 pontos) Considere um consumidor cujas preferências sobre cestas de bens \left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}_{+} \times \mathbb{R}_{++}podem ser representadas pela função utilidade u\left(x_{1}, x_{2}\right)=x_{1}+\ln x_{2}. Esse consumidor possui renda m>0 e se depara com os preços p_{1}, p_{2}>0. O problema de maximização de utilidade do consumidor é o seguinte:
\max _{x_{1}, x_{2}} u\left(x_{1}, x_{2}\right)=x_{1}+\ln x_{2}
sujeito a:
p_{1} x_{1}+p_{2} x_{2} \leq m
(a) (1,0 ponto) Usando o método de Lagrange, encontre as funções demanda, x_{1}^{*}\left(p_{1}, p_{2}, m\right) e x_{2}^{*}\left(p_{1}, p_{2}, m\right), como solução das condições de primeira ordem do problema de maximização de utilidade do consumidor. Assuma solução interior: x_{1}^{*}\left(p_{1}, p_{2}, m\right)>0 e x_{2}^{*}\left(p_{1}, p_{2}, m\right)> 0.
(b) (0,5 ponto ) Encontre a função utilidade indiret a do consumidor (função valor).
(c) (1,0 ponto) Calcule a utilidade marginal da renda. Qual a sua relação com o multiplicador de Lagrange associado à restrição orçamentária? Mostre.

P2 Q3 2023

  1. (2,0 pontos) Encontre um vetor unitário que seja ortogonal aos seguintes vetores: \boldsymbol{f}=(1,2,0,3), \boldsymbol{g}=(2,0,4,2) e \boldsymbol{h}=(0,8,2,-2). Existem outros vetores unitários ortogon ais a \boldsymbol{f}, \boldsymbol{g} e \boldsymbol{h} ? Justifique.
  2. (2,0 pontos) Se \left\{\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \boldsymbol{v}_{3}\right\} formam um conjunto de vetores linearmente independentes, então as diferenças \boldsymbol{u}_{1}=\boldsymbol{v}_{2}-\boldsymbol{v}_{3}, \boldsymbol{u}_{2}=\boldsymbol{v}_{1}-\boldsymbol{v}_{3} e \boldsymbol{u}_{3}=\boldsymbol{v}_{1}-\boldsymbol{v}_{2} são linearmente dependentes ou linearmente independentes? Prove.
  3. ( 3,0 pontos) Considere um mercado com duas firmas: 1 e 2. Suponh que a demanda pelo bem produzido pela firma 1 seja dada por
q_{1}\left(p_{1}, m, p_{2}\right)=f\left(p_{1}, m\right)+b p_{2}
onde q_{1} é a quantidade demandada pelo bem da firma 1, p_{1} é o preço cobrado pela firma 1, m é o gasto com marketing da firma 1 e p_{2}>0 é o preço do bem produzido pela firma 2 . A função f é duas vezes continuamente diferenciável e o coeficiente b>0 mede o grau de substitutibilidade entre os bens das duas firmas. O custo da firma 1 é dado por c\left(q_{1}, m\right)=c q_{1}+m, onde c>0. Assim, o lucro da firma 1 é
\pi\left(p_{1}, m, p_{2}\right)=\left(p_{1}-c\right)\left[f\left(p_{1}, m\right)+b p_{2}\right]-m
A firma 1 escolhe o seu preço, p_{1}, e o seu gasto com marketing, m, de forma a maximizar o seu lucro. Admit a que
\frac{\partial f\left(p_{1}, m\right)}{\partial p_{1}}<0, \frac{\partial^{2} f\left(p_{1}, m\right)}{\partial p_{1}^{2}}<0 \text { e } \frac{\partial f\left(p_{1}, m\right)}{\partial m}>0
Com base nessas informações, responda os itens a seguir.
(a) (1,0 ponto) Assumindo solução interior, p_{1}^{*}>0 e m^{*}>0, encontre as condições de primeira ordem para maximização de lucro da firma 1 . Com base no que você encontrou, determine o sinal (positivo ou negativo) de p_{1}^{*}-c e de q_{1}\left(p_{1}^{*}, m^{*}, p_{2}\right).
(b) ( 1,0 ponto) Encontre as condições suficientes de segunda ordem para que ( p_{1}^{*}, m^{*} ) que resolve o item anterior constitua um ponto de máximo local estrito. Qual condição deve ser imposta sobre \frac{\partial^{2} f\left(p_{1}^{*}, m^{*}\right)}{\partial m^{2}} ?
(c) (1,0 ponto) Calcule o impacto de uma mudança infinitesimal em p_{2} sobre p_{1}^{*} e m^{*}. Analise os sinais.
4. ( 3,0 pontos) Considere um consumidor cujas preferências sobre cest as de bens \left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}_{++}^{2} podem ser representadas pela função utilidade u\left(x_{1}, x_{2}\right)=-\frac{1}{x_{1}^{2}}-\frac{1}{x_{2}^{2}}. Esse consumidor possui renda m>0 e se depara com os preços p_{1}, p_{2}>0. O problema de maximização de utilidade do consumidor é o seguinte:
\max _{x_{1}, x_{2}} u\left(x_{1}, x_{2}\right)=-\frac{1}{x_{1}^{2}}-\frac{1}{x_{2}^{2}}
sujeito a:
p_{1} x_{1}+p_{2} x_{2} \leq m .
(a) ( 1,0 ponto) Usando o método de Lagrange, encontre as funções demanda, x_{1}^{*}\left(p_{1}, p_{2}, m\right) e x_{2}^{*}\left(p_{1}, p_{2}, m\right), como solução das condições de primeira ordem do problema de maximização de utilidade do consumidor.
(b) ( 1,0 ponto) Encontre a função utilidade indiret a do consumidor (função valor).
(c) ( 1,0 ponto) Calcule a utilidade marginal da renda. Qual a sua relação como multiplicador de Lagrange associado à restrição orçamentária? Mostre.

Passo 1

Estamos resolvendo a P2 Q3 (segunda versão) de 2023, que tem quatro itens:
  1. Encontrar um vetor unitário em \mathbb{R}^4 ortogonal a três vetores dados e discutir sua unicidade;
  2. Verificar se certas combinações lineares de três vetores independentes são dependentes ou independentes;
  3. Resolver o problema de maximização de lucro de uma firma (FOC, condições de segundo ordem e efeito de p_2);
  4. Resolver o problema de maximização de utilidade de um consumidor com u(x_1,x_2)=-1/x_1^2-1/x_2^2, encontrando demandas, utilidade indireta e relacionando a utilidade marginal da renda ao multiplicador de Lagrange.

Passo 2

Item 1. Queremos um vetor \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3,v_4)\) tal que \[\mathbf{v}\cdot\mathbf{f}=0,\quad \mathbf{v}\cdot\mathbf{g}=0,\quad \mathbf{v}\cdot\mathbf{h}=0,
onde \mathbf{f}=(1,2,0,3), \mathbf{g}=(2,0,4,2), \mathbf{h}=(0,8,2,-2).
Escrevendo as equações:
\begin{cases} v_1 + 2v_2 + 0\,v_3 + 3v_4 = 0,\\\\ 2v_1 + 0\,v_2 + 4v_3 + 2v_4 = 0,\\\\ 0\,v_1 + 8v_2 + 2v_3 - 2v_4 = 0. \end{cases}
Resolvendo este sistema, por exemplo eliminando variáveis, obtemos uma única dimensão de soluções (nullidade (=1]). Uma escolha conveniente é:
v_1 = 4,\quad v_2 = -1,\quad v_3 = -2,\quad v_4 = 0,
que de fato satisfaz as três equações.

Passo 3

Para tornar \mathbf{v}=(4,-1,-2,0) unitário, calculamos seu comprimento:
\|\mathbf{v}\| = \sqrt{4^2 +(-1)^2 +(-2)^2 +0^2} = \sqrt{16+1+4} = \sqrt{21}.
Logo o vetor unitário é
\tilde{\mathbf{v}} = \frac{1}{\sqrt{21}}\,(4,-1,-2,0).

Passo 4

Como o espaço ortogonal a três vetores em \mathbb{R}^4 tem dimensão 4-3=1, a única reta de soluções é gerada por \tilde{\mathbf{v}}. Portanto, os únicos vetores unitários ortogonais a \mathbf{f},\mathbf{g},\mathbf{h} são
\tilde{\mathbf{v}} \quad\text{e}\quad -\tilde{\mathbf{v}}.

Passo 5

Item 2. Dado que \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\} é LI, definimos \mathbf{u}_1=\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_3, \mathbf{u}_2=\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_3, \mathbf{u}_3=\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2.
Observamos que
\mathbf{u}_1 + \mathbf{u}_2 - \mathbf{u}_3 = (\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_3) + (\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_3) - (\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2) = 0.
Logo há uma combinação não trivial que zera, o conjunto \{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3\} é LD.

Passo 6

Item 3(a). O lucro é
\pi(p_1,m,p_2) =(p_1-c)\bigl[f(p_1,m)+b\,p_2\bigr]-m.
As condições de primeira ordem (solução interior \,p_1^*>0,\,m^*>0) são
\frac{\partial\pi}{\partial p_1} =f(p_1,m)+b\,p_2+(p_1-c)\,f_{p_1}(p_1,m)=0,
\frac{\partial\pi}{\partial m} =(p_1-c)\,f_{m}(p_1,m)-1=0.
Como f_{m}>0, da segunda equação segue \;p_1^*-c = 1/f_m>0.
E pelo significado de q_1=f+b p_2, temos q_1>0.

Passo 7

Item 3(b). A matriz Hessiana \,H em (p_1,m) deve ser definida negativa. Em particular, precisamos
\frac{\partial^2\pi}{\partial p_1^2} =(p_1-c)\,f_{p_1p_1}+2\,f_{p_1}<0,
\det H =\frac{\partial^2\pi}{\partial p_1^2}\,\frac{\partial^2\pi}{\partial m^2} -\Bigl(\frac{\partial^2\pi}{\partial p_1\partial m}\Bigr)^2 >0,
com \partial^2\pi/\partial m^2=(p_1-c)\,f_{mm}<0 exigindo, portanto,
f_{mm}(p_1^*,m^*)<0.

Passo 8

Item 3(c). Diferenciando implicitamente as FOC em p_2, nota-se que o choque dp_2>0 entra apenas na primeira FOC pelo termo b\,p_2. Com derivadas cruzadas adequadas e usando f_{p_1}<0, conclui-se que
\frac{\partial p_1^*}{\partial p_2}>0, \quad \frac{\partial m^*}{\partial p_2}<0.

Passo 9

Item 4(a). O Lagrangiano é
\mathcal{L} =-\frac{1}{x_1^2}-\frac{1}{x_2^2} +\lambda\,(m-p_1x_1-p_2x_2).
As condições de primeira ordem (interna) dão
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_1} =\frac{2}{x_1^3}-\lambda\,p_1=0, \quad \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_2} =\frac{2}{x_2^3}-\lambda\,p_2=0, \quad p_1x_1+p_2x_2=m.
Das duas primeiras: \lambda =2/(p_1 x_1^3)=2/(p_2 x_2^3),
logo
p_2\,x_2^3 = p_1\,x_1^3 \;\Longrightarrow\; x_2 = \bigl(p_1/p_2\bigr)^{1/3}\,x_1.
Substituindo na restrição orçamentária:
x_1 =\frac{m}{\,p_1 + p_2\,(p_1/p_2)^{1/3}\,} =\frac{m}{\,p_1 + p_1^{1/3}p_2^{2/3}\,}, \quad x_2 = \bigl(p_1/p_2\bigr)^{1/3}\,x_1.

Passo 10

Item 4(b). A utilidade indireta é
v(p_1,p_2,m) = u\bigl(x_1^*,x_2^*\bigr) = -\frac{1}{(x_1^*)^2} -\frac{1}{(x_2^*)^2},
com x_1^*,x_2^* dos resultados anteriores.

Passo 11

Item 4(c). A utilidade marginal da renda é
\frac{\partial v}{\partial m} =\lambda^*,
pois, pelas condições de Lagrange, \lambda representa exatamente a variação marginal do valor ótima em relação a m.

Resposta

  1. Vetor unitário ortogonal:
\tilde{\mathbf{v}} =\frac{1}{\sqrt{21}}(4,-1,-2,0),
únicos unitários: \pm\tilde{\mathbf{v}}.
2. \{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3\} é linearmente dependente.
3(a). FOC \;f+b p_2+(p_1-c)f_{p_1}=0,\;(p_1-c)f_{m}=1,
logo p_1^*>c e q_1>0.
3(b). Hessiana negativa exige f_{mm}<0.
3(c). \partial p_1^*/\partial p_2>0,\;\partial m^*/\partial p_2<0.
4(a).
x_1^*=\frac{m}{p_1 + p_1^{1/3}p_2^{2/3}}, \quad x_2^*=\bigl(p_1/p_2\bigr)^{1/3}x_1^*.
4(b). \;v(p_1,p_2,m) = -1/(x_1^*)^2-1/(x_2^*)^2.
4(c). \partial v/\partial m = \lambda^*.

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