( 2,5 pontos) As seguintes cinco matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, determine os valores de x e y (quando houver y ) para os quais o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas.
(a) (0,5 ponto )\left[\begin{array}{ll}5 & 3 \\\ x & 2\end{array}\right], 1 única solução para qualquer \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}\right).
(b) (0,5 ponto )\left[\begin{array}{ll}2 & x \\\\ 3 & 1 \\\\ 1 & y\end{array}\right], 0 ou infinitas soluções a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right).
(c) (0,5 ponto) \left[\begin{array}{lll}4 & 2 & x \\\\ 3 & y & 2\end{array}\right], infinitas soluções para qualquer \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}\right).
(d) (0,5 ponto) \left[\begin{array}{lll}x & 6 & 2 \\\\ 3 & 4 & y\end{array}\right], 0 ou infinitas soluções a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}\right).
(e) (0,5 ponto) \left[\begin{array}{lll}0 & x & 4 \\\\ 1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 4 & 3\end{array}\right], 0 ou infinitas soluções a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right).
(2,0 pontos) Sejam os vetores \boldsymbol{u}=(1,0,-2), \boldsymbol{v}=(1,3,1) e \boldsymbol{w}=(-1,1,1) e considere as seguintes matrizes:
Determine x, y e z de forma que os vetores \tilde{\boldsymbol{u}}=U \boldsymbol{u}, \tilde{\boldsymbol{v}}=V \boldsymbol{v} e \tilde{\boldsymbol{w}}=W \boldsymbol{w} sejam ortogon ais.
3. ( 3,0 pontos) Considere um mercado com duas firmas: 1 e 2. Suponh que a demanda pelo bem produzido pela firma 1 seja dada por
onde q_{1} é a quantidade demandada pelo bem da firma 1, p_{1} é o preço cobrado pela firma 1 , m_{1} é o gasto com marketing da firma 1, p_{2} é o preço do bem produzido pela firma 2 e m_{2} é o gasto com marketing da firma 2. A função f_{1} é duas vezes continuamente diferenciável e a função f_{2} é continuamente diferenciável. O custo da firma 1 é dado por c\left(q_{1}, m_{1}\right)=c q_{1}+m_{1}, onde c>0. Assim, o lucro da firma 1 é
Com base nessas informações, responda os itens a seguir.
(a) (1,0 ponto) Assumindo solução interior, p_{1}^{*}>0 e m_{1}^{*}>0, encontre as condições de primeira ordem para maximização de lucro da firma 1 . Com base no que você encontrou, determine o sinal (positivo ou negativo) de p_{1}^{*}-c e de q_{1}\left(p_{1}^{*}, m_{1}^{*}, p_{2}, m_{2}\right).
(b) ( 1,0 ponto) Encontre as condições suficientes de segunda ordem para que ( p_{1}^{*}, m_{1}^{*} ) que resolve o item anterior constitua um ponto de máximo local estrito. Qual condição deve ser imposta sobre \frac{\partial^{2} f_{1}\left(p_{1}^{*}, m_{1}^{*}\right)}{\partial m_{1}^{2}} ?
(c) (1,0 ponto) Calcule o impacto de uma mudança infinitesimal em m_{2} sobre p_{1}^{*} e m_{1}^{*}. Analise os sin ais.
4. (2,5 pontos) Considere um consumidor cujas preferências sobre cestas de bens \left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}_{+} \times \mathbb{R}_{++}podem ser representadas pela função utilidade u\left(x_{1}, x_{2}\right)=x_{1}+\ln x_{2}. Esse consumidor possui renda m>0 e se depara com os preços p_{1}, p_{2}>0. O problema de maximização de utilidade do consumidor é o seguinte:
(a) (1,0 ponto) Usando o método de Lagrange, encontre as funções demanda, x_{1}^{*}\left(p_{1}, p_{2}, m\right) e x_{2}^{*}\left(p_{1}, p_{2}, m\right), como solução das condições de primeira ordem do problema de maximização de utilidade do consumidor. Assuma solução interior: x_{1}^{*}\left(p_{1}, p_{2}, m\right)>0 e x_{2}^{*}\left(p_{1}, p_{2}, m\right)> 0.
(b) (0,5 ponto ) Encontre a função utilidade indiret a do consumidor (função valor).
(c) (1,0 ponto) Calcule a utilidade marginal da renda. Qual a sua relação com o multiplicador de Lagrange associado à restrição orçamentária? Mostre.
P2 Q3 2023
(2,0 pontos) Encontre um vetor unitário que seja ortogonal aos seguintes vetores: \boldsymbol{f}=(1,2,0,3), \boldsymbol{g}=(2,0,4,2) e \boldsymbol{h}=(0,8,2,-2). Existem outros vetores unitários ortogon ais a \boldsymbol{f}, \boldsymbol{g} e \boldsymbol{h} ? Justifique.
(2,0 pontos) Se \left\{\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \boldsymbol{v}_{3}\right\} formam um conjunto de vetores linearmente independentes, então as diferenças \boldsymbol{u}_{1}=\boldsymbol{v}_{2}-\boldsymbol{v}_{3}, \boldsymbol{u}_{2}=\boldsymbol{v}_{1}-\boldsymbol{v}_{3} e \boldsymbol{u}_{3}=\boldsymbol{v}_{1}-\boldsymbol{v}_{2} são linearmente dependentes ou linearmente independentes? Prove.
( 3,0 pontos) Considere um mercado com duas firmas: 1 e 2. Suponh que a demanda pelo bem produzido pela firma 1 seja dada por
q_{1}\left(p_{1}, m, p_{2}\right)=f\left(p_{1}, m\right)+b p_{2}
onde q_{1} é a quantidade demandada pelo bem da firma 1, p_{1} é o preço cobrado pela firma 1, m é o gasto com marketing da firma 1 e p_{2}>0 é o preço do bem produzido pela firma 2 . A função f é duas vezes continuamente diferenciável e o coeficiente b>0 mede o grau de substitutibilidade entre os bens das duas firmas. O custo da firma 1 é dado por c\left(q_{1}, m\right)=c q_{1}+m, onde c>0. Assim, o lucro da firma 1 é
\pi\left(p_{1}, m, p_{2}\right)=\left(p_{1}-c\right)\left[f\left(p_{1}, m\right)+b p_{2}\right]-m
A firma 1 escolhe o seu preço, p_{1}, e o seu gasto com marketing, m, de forma a maximizar o seu lucro. Admit a que
Com base nessas informações, responda os itens a seguir.
(a) (1,0 ponto) Assumindo solução interior, p_{1}^{*}>0 e m^{*}>0, encontre as condições de primeira ordem para maximização de lucro da firma 1 . Com base no que você encontrou, determine o sinal (positivo ou negativo) de p_{1}^{*}-c e de q_{1}\left(p_{1}^{*}, m^{*}, p_{2}\right).
(b) ( 1,0 ponto) Encontre as condições suficientes de segunda ordem para que ( p_{1}^{*}, m^{*} ) que resolve o item anterior constitua um ponto de máximo local estrito. Qual condição deve ser imposta sobre \frac{\partial^{2} f\left(p_{1}^{*}, m^{*}\right)}{\partial m^{2}} ?
(c) (1,0 ponto) Calcule o impacto de uma mudança infinitesimal em p_{2} sobre p_{1}^{*} e m^{*}. Analise os sinais.
4. ( 3,0 pontos) Considere um consumidor cujas preferências sobre cest as de bens \left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}_{++}^{2} podem ser representadas pela função utilidade u\left(x_{1}, x_{2}\right)=-\frac{1}{x_{1}^{2}}-\frac{1}{x_{2}^{2}}. Esse consumidor possui renda m>0 e se depara com os preços p_{1}, p_{2}>0. O problema de maximização de utilidade do consumidor é o seguinte:
(a) ( 1,0 ponto) Usando o método de Lagrange, encontre as funções demanda, x_{1}^{*}\left(p_{1}, p_{2}, m\right) e x_{2}^{*}\left(p_{1}, p_{2}, m\right), como solução das condições de primeira ordem do problema de maximização de utilidade do consumidor.
(b) ( 1,0 ponto) Encontre a função utilidade indiret a do consumidor (função valor).
(c) ( 1,0 ponto) Calcule a utilidade marginal da renda. Qual a sua relação como multiplicador de Lagrange associado à restrição orçamentária? Mostre.
Passo 1
Estamos resolvendo a P2 Q3 (segunda versão) de 2023, que tem quatro itens:
Encontrar um vetor unitário em \mathbb{R}^4 ortogonal a três vetores dados e discutir sua unicidade;
Verificar se certas combinações lineares de três vetores independentes são dependentes ou independentes;
Resolver o problema de maximização de lucro de uma firma (FOC, condições de segundo ordem e efeito de p_2);
Resolver o problema de maximização de utilidade de um consumidor com u(x_1,x_2)=-1/x_1^2-1/x_2^2, encontrando demandas, utilidade indireta e relacionando a utilidade marginal da renda ao multiplicador de Lagrange.
Passo 2
Item 1. Queremos um vetor \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3,v_4)\) tal que
\[\mathbf{v}\cdot\mathbf{f}=0,\quad \mathbf{v}\cdot\mathbf{g}=0,\quad \mathbf{v}\cdot\mathbf{h}=0,
onde \mathbf{f}=(1,2,0,3), \mathbf{g}=(2,0,4,2), \mathbf{h}=(0,8,2,-2).
Escrevendo as equações:
Resolvendo este sistema, por exemplo eliminando variáveis, obtemos uma única dimensão de soluções (nullidade (=1]). Uma escolha conveniente é: v_1 = 4,\quad v_2 = -1,\quad v_3 = -2,\quad v_4 = 0,
que de fato satisfaz as três equações.
Passo 3
Para tornar \mathbf{v}=(4,-1,-2,0) unitário, calculamos seu comprimento:
Como o espaço ortogonal a três vetores em \mathbb{R}^4 tem dimensão 4-3=1, a única reta de soluções é gerada por \tilde{\mathbf{v}}. Portanto, os únicos vetores unitários ortogonais a \mathbf{f},\mathbf{g},\mathbf{h} são
Item 2. Dado que \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\} é LI, definimos \mathbf{u}_1=\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_3, \mathbf{u}_2=\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_3, \mathbf{u}_3=\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2.
Observamos que
\det H =\frac{\partial^2\pi}{\partial p_1^2}\,\frac{\partial^2\pi}{\partial m^2} -\Bigl(\frac{\partial^2\pi}{\partial p_1\partial m}\Bigr)^2 >0,
com \partial^2\pi/\partial m^2=(p_1-c)\,f_{mm}<0 exigindo, portanto,
f_{mm}(p_1^*,m^*)<0.
Passo 8
Item 3(c). Diferenciando implicitamente as FOC em p_2, nota-se que o choque dp_2>0 entra apenas na primeira FOC pelo termo b\,p_2. Com derivadas cruzadas adequadas e usando f_{p_1}<0, conclui-se que