1. ( 1,5 ponto) Os vetores v_{1}=(1,3,2), v_{2}=(4,5,7) e v_{3}=(0,2,0) geram \circ \mathbb{R}^{3} ? Explique.

Passo 1

O enunciado pergunta se os vetores \,v_{1}=(1,3,2), \,v_{2}=(4,5,7) e \,v_{3}=(0,2,0)
geram o espaço \mathbb{R}^{3}.
Conteúdo: combinação linear e critério de posto/determinante para verificar se o span desses vetores é todo \mathbb{R}^{3}.

Passo 2

Para testar se eles geram \mathbb{R}^{3}, montamos a matriz cujas colunas são esses vetores:
A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 0\\\\ 3 & 5 & 2\\\\ 2 & 7 & 0 \end{pmatrix}.
Sabemos que, em \mathbb{R}^{3}, três vetores geram todo o espaço se e somente se forem linearmente independentes, o que equivale a \det(A)\neq0.

Passo 3

Calculamos o determinante de A:
\det(A) =1\cdot\bigl(5\cdot0 - 2\cdot7\bigr) -4\cdot\bigl(3\cdot0 - 2\cdot2\bigr) +0\cdot\bigl(3\cdot7 - 5\cdot2\bigr).
Simplificando,
\det(A) =1\cdot(0 - 14) -4\cdot(0 - 4) = -14 + 16 = 2.

Passo 4

Como \det(A)=2\neq0, os vetores são linearmente independentes e, portanto, seu span é todo \mathbb{R}^{3}.

Resposta

Sim, os vetores v_{1},v_{2},v_{3} geram \mathbb{R}^{3} pois \det(A)=2\neq0.

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