P2 Q3 2023
( 2,5 pontos) As seguintes cinco matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, determine os valores de
x e
y (quando houver
y ) para os quais o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas.
(a)
(0,5 ponto
)\left[\begin{array}{ll}5 & 3 \\\ x & 2\end{array}\right], 1 única solução para qualquer
\boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}\right) .
(b)
(0,5 ponto
)\left[\begin{array}{ll}2 & x \\\\ 3 & 1 \\\\ 1 & y\end{array}\right], 0 ou infinitas soluções a depender de
\boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right) .
(c) (0,5 ponto)
\left[\begin{array}{lll}4 & 2 & x \\\\ 3 & y & 2\end{array}\right] , infinitas soluções para qualquer
\boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}\right) .
(d) (0,5 ponto)
\left[\begin{array}{lll}x & 6 & 2 \\\\ 3 & 4 & y\end{array}\right], 0 ou infinitas soluções a depender de
\boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}\right) .
(e) (0,5 ponto)
\left[\begin{array}{lll}0 & x & 4 \\\\ 1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 4 & 3\end{array}\right], 0 ou infinitas soluções a depender de
\boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right) .
(2,0 pontos) Sejam os vetores
\boldsymbol{u}=(1,0,-2), \boldsymbol{v}=(1,3,1) e
\boldsymbol{w}=(-1,1,1) e considere as seguintes matrizes:
U=\left[\begin{array}{lll} x & 1 & 2 \\\\ 0 & 3 & 5 \\\\ 2 & 2 & 2 \end{array}\right], \quad V=\left[\begin{array}{lll} 1 & 1 & 2 \\\\ 0 & y & 1 \\\\ 1 & 3 & 2 \end{array}\right], \text { e } \quad W=\left[\begin{array}{lll} 2 & 1 & 2 \\\\ 1 & 4 & 1 \\\\ 2 & 3 & z \end{array}\right]
Determine
x, y e
z de forma que os vetores
\tilde{\boldsymbol{u}}=U \boldsymbol{u}, \tilde{\boldsymbol{v}}=V \boldsymbol{v} e
\tilde{\boldsymbol{w}}=W \boldsymbol{w} sejam ortogon ais.
3. ( 3,0 pontos) Considere um mercado com duas firmas: 1 e 2. Suponh que a demanda pelo bem produzido pela firma 1 seja dada por
q_{1}\left(p_{1}, m_{1}, p_{2}, m_{2}\right)=f_{1}\left(p_{1}, m_{1}\right)+f_{2}\left(p_{2}, m_{2}\right)
onde
q_{1} é a quantidade demandada pelo bem da firma
1, p_{1} é o preço cobrado pela firma 1 ,
m_{1} é o gasto com marketing da firma
1, p_{2} é o preço do bem produzido pela firma 2 e
m_{2} é o gasto com marketing da firma 2. A função
f_{1} é duas vezes continuamente diferenciável e a função
f_{2} é continuamente diferenciável. O custo da firma 1 é dado por
c\left(q_{1}, m_{1}\right)=c q_{1}+m_{1} , onde
c>0 . Assim, o lucro da firma 1 é
\pi\left(p_{1}, m_{1}, p_{2}, m_{2}\right)=\left(p_{1}-c\right)\left[f_{1}\left(p_{1}, m_{1}\right)+f_{2}\left(p_{2}, m_{2}\right)\right]-m_{1}
A firma 1 escolhe o seu preço,
p_{1} , e o seu gasto com marketing,
m_{1} , de forma a maximizar o seu lucro. Admita que
\begin{gathered} \frac{\partial f_{1}\left(p_{1}, m_{1}\right)}{\partial p_{1}}<0, \frac{\partial^{2} f_{1}\left(p_{1}, m_{1}\right)}{\partial p_{1}^{2}}<0, \frac{\partial f_{1}\left(p_{1}, m_{1}\right)}{\partial m_{1}}>0 \\\ \frac{\partial f_{2}\left(p_{2}, m_{2}\right)}{\partial p_{2}}>0 \text { e } \frac{\partial f_{2}\left(p_{2}, m_{2}\right)}{\partial m_{2}}<0 \end{gathered}
Com base nessas informações, responda os itens a seguir.
(a) (1,0 ponto) Assumindo solução interior,
p_{1}^{*}>0 e
m_{1}^{*}>0 , encontre as condições de primeira ordem para maximização de lucro da firma 1 . Com base no que você encontrou, determine o sinal (positivo ou negativo) de
p_{1}^{*}-c e de
q_{1}\left(p_{1}^{*}, m_{1}^{*}, p_{2}, m_{2}\right) .
(b) ( 1,0 ponto) Encontre as condições suficientes de segunda ordem para que (
p_{1}^{*}, m_{1}^{*} ) que resolve o item anterior constitua um ponto de máximo local estrito. Qual condição deve ser imposta sobre
\frac{\partial^{2} f_{1}\left(p_{1}^{*}, m_{1}^{*}\right)}{\partial m_{1}^{2}} ?
(c) (1,0 ponto) Calcule o impacto de uma mudança infinitesimal em
m_{2} sobre
p_{1}^{*} e
m_{1}^{*} . Analise os sin ais.
4. (2,5 pontos) Considere um consumidor cujas preferências sobre cestas de bens
\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}_{+} \times \mathbb{R}_{++} podem ser representadas pela função utilidade
u\left(x_{1}, x_{2}\right)=x_{1}+\ln x_{2} . Esse consumidor possui renda
m>0 e se depara com os preços
p_{1}, p_{2}>0 . O problema de maximização de utilidade do consumidor é o seguinte:
\max _{x_{1}, x_{2}} u\left(x_{1}, x_{2}\right)=x_{1}+\ln x_{2}
sujeito a:
p_{1} x_{1}+p_{2} x_{2} \leq m
(a) (1,0 ponto) Usando o método de Lagrange, encontre as funções demanda,
x_{1}^{*}\left(p_{1}, p_{2}, m\right) e
x_{2}^{*}\left(p_{1}, p_{2}, m\right) , como solução das condições de primeira ordem do problema de maximização de utilidade do consumidor. Assuma solução interior:
x_{1}^{*}\left(p_{1}, p_{2}, m\right)>0 e
x_{2}^{*}\left(p_{1}, p_{2}, m\right)> 0.
(b)
(0,5 ponto
) Encontre a função utilidade indiret a do consumidor (função valor).
(c) (1,0 ponto) Calcule a utilidade marginal da renda. Qual a sua relação com o multiplicador de Lagrange associado à restrição orçamentária? Mostre.
P2 Q3 2023
(2,0 pontos) Encontre um vetor unitário que seja ortogonal aos seguintes vetores:
\boldsymbol{f}=(1,2,0,3) ,
\boldsymbol{g}=(2,0,4,2) e
\boldsymbol{h}=(0,8,2,-2) . Existem outros vetores unitários ortogon ais a
\boldsymbol{f}, \boldsymbol{g} e
\boldsymbol{h} ? Justifique.
(2,0 pontos) Se
\left\{\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \boldsymbol{v}_{3}\right\} formam um conjunto de vetores linearmente independentes, então as diferenças
\boldsymbol{u}_{1}=\boldsymbol{v}_{2}-\boldsymbol{v}_{3}, \boldsymbol{u}_{2}=\boldsymbol{v}_{1}-\boldsymbol{v}_{3} e
\boldsymbol{u}_{3}=\boldsymbol{v}_{1}-\boldsymbol{v}_{2} são linearmente dependentes ou linearmente independentes? Prove.
( 3,0 pontos) Considere um mercado com duas firmas: 1 e 2. Suponh que a demanda pelo bem produzido pela firma 1 seja dada por
q_{1}\left(p_{1}, m, p_{2}\right)=f\left(p_{1}, m\right)+b p_{2}
onde
q_{1} é a quantidade demandada pelo bem da firma
1, p_{1} é o preço cobrado pela firma
1, m é o gasto com marketing da firma 1 e
p_{2}>0 é o preço do bem produzido pela firma 2 . A função
f é duas vezes continuamente diferenciável e o coeficiente
b>0 mede o grau de substitutibilidade entre os bens das duas firmas. O custo da firma 1 é dado por
c\left(q_{1}, m\right)=c q_{1}+m , onde
c>0 . Assim, o lucro da firma 1 é
\pi\left(p_{1}, m, p_{2}\right)=\left(p_{1}-c\right)\left[f\left(p_{1}, m\right)+b p_{2}\right]-m
A firma 1 escolhe o seu preço,
p_{1} , e o seu gasto com marketing,
m , de forma a maximizar o seu lucro. Admit a que
\frac{\partial f\left(p_{1}, m\right)}{\partial p_{1}}<0, \frac{\partial^{2} f\left(p_{1}, m\right)}{\partial p_{1}^{2}}<0 \text { e } \frac{\partial f\left(p_{1}, m\right)}{\partial m}>0
Com base nessas informações, responda os itens a seguir.
(a) (1,0 ponto) Assumindo solução interior,
p_{1}^{*}>0 e
m^{*}>0 , encontre as condições de primeira ordem para maximização de lucro da firma 1 . Com base no que você encontrou, determine o sinal (positivo ou negativo) de
p_{1}^{*}-c e de
q_{1}\left(p_{1}^{*}, m^{*}, p_{2}\right) .
(b) ( 1,0 ponto) Encontre as condições suficientes de segunda ordem para que (
p_{1}^{*}, m^{*} ) que resolve o item anterior constitua um ponto de máximo local estrito. Qual condição deve ser imposta sobre
\frac{\partial^{2} f\left(p_{1}^{*}, m^{*}\right)}{\partial m^{2}} ?
(c) (1,0 ponto) Calcule o impacto de uma mudança infinitesimal em
p_{2} sobre
p_{1}^{*} e
m^{*} . Analise os sinais.
4. ( 3,0 pontos) Considere um consumidor cujas preferências sobre cest as de bens
\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}_{++}^{2} podem ser representadas pela função utilidade
u\left(x_{1}, x_{2}\right)=-\frac{1}{x_{1}^{2}}-\frac{1}{x_{2}^{2}} . Esse consumidor possui renda
m>0 e se depara com os preços
p_{1}, p_{2}>0 . O problema de maximização de utilidade do consumidor é o seguinte:
\max _{x_{1}, x_{2}} u\left(x_{1}, x_{2}\right)=-\frac{1}{x_{1}^{2}}-\frac{1}{x_{2}^{2}}
sujeito a:
p_{1} x_{1}+p_{2} x_{2} \leq m .
(a) ( 1,0 ponto) Usando o método de Lagrange, encontre as funções demanda,
x_{1}^{*}\left(p_{1}, p_{2}, m\right) e
x_{2}^{*}\left(p_{1}, p_{2}, m\right) , como solução das condições de primeira ordem do problema de maximização de utilidade do consumidor.
(b) ( 1,0 ponto) Encontre a função utilidade indiret a do consumidor (função valor).
(c) ( 1,0 ponto) Calcule a utilidade marginal da renda. Qual a sua relação como multiplicador de Lagrange associado à restrição orçamentária? Mostre.