(2025062084). Prove que, se uma reta a está num plano \alpha, perpendicular a uma reta b , então a reta b também está num plano perpendicular à reta a .

Passo 1

O enunciado afirma que a reta a está contida num plano \alpha e que a é perpendicular à reta b. Em geometria espacial, “ a\perp b” implica que a e b se cruzam num ponto, digamos O. Queremos mostrar que existe um plano \beta que contenha b e seja perpendicular a a.

Passo 2

Como a\subset\alpha e b intersecta a em O, segue que O também pertence a \alpha. Logo, o ponto de encontro O está em \alpha.

Passo 3

Pela geometria do espaço, existe uma reta c que passa por O e é perpendicular ao plano \alpha. Por definição de perpendicularidade entre reta e plano, essa reta c é perpendicular a todas as retas que passam por O e estão em \alpha. Em particular, como a\subset\alpha, temos
c \;\perp\; a.

Passo 4

Considere o plano \beta determinado pelas retas b e c. Então \beta contém b por construção e contém c, sendo que c é perpendicular a a. Como num plano perpendicular a uma reta basta conter uma reta perpendicular a ela, concluímos que
\beta \;\perp\; a.

Resposta

Basta escolher \beta como o plano gerado por b e pela reta c\perp\alpha em O. Esse plano contém b e, por conter a reta c perpendicular a a, satisfaz \beta\perp a.

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