(2025062083). Mostre que, se um plano
contém uma reta a, perpendicular a um plano
, então
contém uma reta perpendicular a
.
Passo 1
O enunciado nos dá dois planos
e
tais que
contém uma reta
perpendicular a
. Queremos mostrar que existe uma reta
perpendicular a
. Vamos usar:
- Se uma reta
é perpendicular a um plano e é o ponto de interseção , então qualquer reta de que passe por . - Uma reta é perpendicular a um plano se e somente se ela é perpendicular a duas retas distintas desse plano que se cruzem no ponto de interseção.
Passo 2
Como
é perpendicular a
, existe o ponto
Pelo item 1,
é perpendicular a toda reta de
que passe por
.
Passo 3
Os planos
e
intersectam-se numa reta
pois
. Logo
e
.
Passo 4
Dentro do plano
, traçamos a reta
que passa por
e é perpendicular a
. Assim
Passo 5
Como
e
, também vale
Portanto,
é perpendicular às duas retas
e
que geram o plano
.
Passo 6
Pelo critério de perpendicularidade, uma reta que é perpendicular a duas retas concorrentes num ponto é perpendicular ao plano determinado por elas. Logo
Resposta
A reta
que passa por
e é perpendicular à reta de interseção
satisfaz
. Assim,
contém uma reta perpendicular a
.