(2025062083). Mostre que, se um plano \alpha contém uma reta a, perpendicular a um plano \beta, então \beta contém uma reta perpendicular a \alpha.

Passo 1

O enunciado nos dá dois planos \alpha e \beta tais que \alpha contém uma reta a perpendicular a \beta. Queremos mostrar que existe uma reta m\subset\beta perpendicular a \alpha. Vamos usar:
  1. Se uma reta \ell é perpendicular a um plano \Pi e Q é o ponto de interseção \ell\cap\Pi, então \ell\perp qualquer reta de \Pi que passe por Q.
  2. Uma reta é perpendicular a um plano se e somente se ela é perpendicular a duas retas distintas desse plano que se cruzem no ponto de interseção.

Passo 2

Como a\subset\alpha é perpendicular a \beta, existe o ponto
P = a \,\cap\, \beta.
Pelo item 1, a é perpendicular a toda reta de \beta que passe por P.

Passo 3

Os planos \alpha e \beta intersectam-se numa reta
l = \alpha \,\cap\, \beta,
pois P\in\alpha\cap\beta. Logo l\subset\beta e l\subset\alpha.

Passo 4

Dentro do plano \beta, traçamos a reta m que passa por P e é perpendicular a l. Assim
m\subset\beta \quad\text{e}\quad m \perp l \quad\text{em }P.

Passo 5

Como m\subset\beta e a\perp\beta, também vale
m \perp a \quad\text{em }P.
Portanto, m é perpendicular às duas retas l e a que geram o plano \alpha.

Passo 6

Pelo critério de perpendicularidade, uma reta que é perpendicular a duas retas concorrentes num ponto é perpendicular ao plano determinado por elas. Logo
m \perp \alpha.

Resposta

A reta m\subset\beta que passa por P=a\cap\beta e é perpendicular à reta de interseção l=\alpha\cap\beta satisfaz m\perp\alpha. Assim, \beta contém uma reta perpendicular a \alpha.

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