(2025062073). Uma reta a é perpendicular a um plano a num ponto O. Uma reta b de a não passa por 0 e uma reta c de a passa por 0 e é concorrente com b em R. Demonstre que, se S é um ponto qualquer de a e a reta SR é perpendicular à reta b, então b é perpendicular a c. (Recíproca do teorema das três perpendiculares.)

Passo 1

O enunciado diz que a reta a é perpendicular ao plano \alpha em O. A reta b está contida em \alpha e não passa por O; a reta c também está em \alpha, passa por O e se encontra com b em R. Para qualquer ponto S em a traça-se SR de modo que SR\perp b. Queremos mostrar que b é perpendicular ao plano determinado por a e c. Esse é o enunciado da recíproca do teorema das três perpendiculares.

Passo 2

Como a\perp\alpha em O, toda reta em \alpha é perpendicular a a. Em particular,
a\perp b.

Passo 3

Denote por \pi o plano gerado por a e c. Como S\in a e R\in c, temos
SR\subset\pi
e, pela hipótese,
SR\perp b.
Além disso, a\subset\pi e a\perp b implicam que qualquer reta em \pi paralela a a é também perpendicular a b. Seja l\subset\pi a reta que passa por R e é paralela a a. Então
l\perp b.

Passo 4

As retas SR e l são concorrentes em R, estão em \pi e ambas são perpendiculares a b. Pelo critério de que “uma reta perpendicular a duas retas concorrentes num ponto do plano é perpendicular ao plano”, deduzimos
b\perp\pi.

Resposta

b é perpendicular ao plano determinado por a e c.

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