(2025062073). Uma reta a é perpendicular a um plano a num ponto O. Uma reta b de a não passa por 0 e uma reta c de a passa por 0 e é concorrente com b em R. Demonstre que, se S é um ponto qualquer de a e a reta SR é perpendicular à reta
, então
é perpendicular
. (Recíproca do teorema das três perpendiculares.)
Passo 1
O enunciado diz que a reta
é perpendicular ao plano
em
. A reta
está contida em
e não passa por
; a reta
também está em
, passa por
e se encontra com
em
. Para qualquer ponto
em
traça-se
de modo que
. Queremos mostrar que
é perpendicular ao plano determinado por
e
. Esse é o enunciado da recíproca do teorema das três perpendiculares.
Passo 2
Como
em
, toda reta em
é perpendicular a
. Em particular,
Passo 3
Denote por
o plano gerado por
e
. Como
e
, temos
e, pela hipótese,
Além disso,
e
implicam que qualquer reta em
paralela a
é também perpendicular a
. Seja
a reta que passa por
e é paralela a
. Então
Passo 4
As retas
e
são concorrentes em
, estão em
e ambas são perpendiculares a
. Pelo critério de que “uma reta perpendicular a duas retas concorrentes num ponto do plano é perpendicular ao plano”, deduzimos