(2025062087). Prove que, se dois planos são paralelos, todo plano perpendicular a um deles é perpendicular ao outro.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, se dois planos \alpha e \beta são paralelos, então qualquer plano \gamma perpendicular a \alpha é também perpendicular a \beta.
Conteúdo: usaremos a interpretação vetorial de plano, em que cada plano é representado por um vetor normal, e as definições vetoriais de paralelismo e perpendicularidade entre planos.

Passo 2

Como \alpha\parallel\beta, seus vetores normais \mathbf{n}_\alpha e \mathbf{n}_\beta são paralelos. Logo existe \lambda\neq0 tal que
\mathbf{n}_\alpha = \lambda\,\mathbf{n}_\beta.

Passo 3

A condição \gamma\perp\alpha significa que o vetor normal de \gamma, digamos \mathbf{n}_\gamma, é perpendicular ao vetor normal de \alpha. Em notação de produto escalar:
\mathbf{n}_\gamma \cdot \mathbf{n}_\alpha = 0.

Passo 4

Substituindo \mathbf{n}_\alpha = \lambda\,\mathbf{n}_\beta na condição anterior, temos
\mathbf{n}_\gamma \cdot (\lambda\,\mathbf{n}_\beta) =\lambda\,(\mathbf{n}_\gamma\cdot\mathbf{n}_\beta) =0.
Como \lambda\neq0, deduzimos \mathbf{n}_\gamma\cdot\mathbf{n}_\beta=0. Mas isso é exatamente a definição de \gamma\perp\beta.

Resposta

Qualquer plano \gamma perpendicular a \alpha é também perpendicular a \beta.

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