(2025062088). Mostre que, se uma reta a e um plano
são paralelos, todo plano
, perpendicular à reta a , também é perpendicular ao plano
.
Passo 1
O enunciado diz que a reta
é paralela ao plano
e que o plano
é perpendicular à reta
. Queremos mostrar que
. Para isso usaremos geometria vetorial, em particular as definições:
– Uma reta é paralela a um plano se seu vetor diretor é ortogonal ao vetor normal do plano.
– Um plano é perpendicular a uma reta se seu vetor normal é paralelo ao vetor diretor da reta.
– Dois planos são perpendiculares se, e somente se, seus vetores normais são ortogonais.
– Uma reta é paralela a um plano se seu vetor diretor é ortogonal ao vetor normal do plano.
– Um plano é perpendicular a uma reta se seu vetor normal é paralelo ao vetor diretor da reta.
– Dois planos são perpendiculares se, e somente se, seus vetores normais são ortogonais.
Passo 2
Escolhemos um vetor
que seja diretor da reta
, e um vetor
que seja normal ao plano
.
Como , temos que
é ortogonal a todo vetor em
, em particular a
. Logo
Como
Passo 3
Seja
um vetor normal ao plano
.
Como , o normal
de
é paralelo à diretriz
de
, ou seja, existe escalar
tal que
Como
Passo 4
Agora calculamos o produto escalar entre
e
:
Portanto
.
Passo 5
Como os vetores normais
de
e
de
são ortogonais, concluímos que os planos
e
são perpendiculares.
Resposta
O plano
é perpendicular ao plano
.