(2025062086). Prove que, se dois planos são perpendiculares entre si, toda reta perpendicular a um deles é paralela ou está contida no outro.

Passo 1

O enunciado diz que temos dois planos \pi_1 e \pi_2 tais que \pi_1\perp\pi_2, e queremos mostrar que qualquer reta r que seja perpendicular a \pi_1 é ou paralela a \pi_2 ou está contida em \pi_2. O conteúdo principal aqui é geometria no espaço usando vetores normais de planos e vetores diretores de retas. Vamos usar que “ \pi_1\perp\pi_2” implica que um vetor normal a \pi_1 é perpendicular a um vetor normal a \pi_2.

Passo 2

Sejam \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2 vetores normais a \pi_1 e a \pi_2, respectivamente. A condição
\pi_1\perp\pi_2
significa exatamente que
\mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2=0,
ou seja, \mathbf{n}_1\perp\mathbf{n}_2.

Passo 3

Agora, seja r uma reta perpendicular a \pi_1. Isso quer dizer que o vetor diretor \mathbf{v} de r é perpendicular a todo vetor que esteja em \pi_1. Em particular, \mathbf{v} é paralelo ao normal de \pi_1, logo
\mathbf{v}\parallel\mathbf{n}_1.

Passo 4

Como \mathbf{n}_1\perp\mathbf{n}_2 e \mathbf{v}\parallel\mathbf{n}_1, segue que
\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}_2=0.
Mas esse produto escalar nulo significa que \mathbf{v} é perpendicular a \mathbf{n}_2, ou seja, \mathbf{v} pertence ao plano \pi_2. Geometricamente, isso diz que a direção de r está contida em \pi_2.

Passo 5

Uma reta cuja direção está contida em um plano é ou paralela a esse plano ou então está inteiramente dentro dele, dependendo se um ponto de r pertence ou não ao plano. Logo, r é paralela a \pi_2 ou r\subset\pi_2.

Resposta

Qualquer reta perpendicular a \pi_1 é ou paralela a \pi_2 ou está contida em \pi_2.

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