(2025062086). Prove que, se dois planos são perpendiculares entre si, toda reta perpendicular a um deles é paralela ou está contida no outro.
Passo 1
O enunciado diz que temos dois planos
e
tais que
, e queremos mostrar que qualquer reta
que seja perpendicular a
é ou paralela a
ou está contida em
. O conteúdo principal aqui é geometria no espaço usando vetores normais de planos e vetores diretores de retas. Vamos usar que “
” implica que um vetor normal a
é perpendicular a um vetor normal a
.
Passo 2
Sejam
e
vetores normais a
e a
, respectivamente. A condição
significa exatamente que
ou seja,
.
Passo 3
Agora, seja
uma reta perpendicular a
. Isso quer dizer que o vetor diretor
de
é perpendicular a todo vetor que esteja em
. Em particular,
é paralelo ao normal de
, logo
Passo 4
Como
e
, segue que
Mas esse produto escalar nulo significa que
é perpendicular a
, ou seja,
pertence ao plano
. Geometricamente, isso diz que a direção de
está contida em
.
Passo 5
Uma reta cuja direção está contida em um plano é ou paralela a esse plano ou então está inteiramente dentro dele, dependendo se um ponto de
pertence ou não ao plano. Logo,
é paralela a
ou
.
Resposta
Qualquer reta perpendicular a
é ou paralela a
ou está contida em
.