204- Qual os dois últimos dígitos do número 3^{1234}

Passo 1

O enunciado pede os dois últimos dígitos de 3^{1234}. Isso envolve aritmética modular, mais precisamente calcular uma potência grande módulo 100 e usar o Teorema de Euler.

Passo 2

Para achar os dois últimos dígitos, basta computar 3^{1234}\bmod100, pois as duas últimas casas decimais de um número são o mesmo que seu valor módulo 100.
Note que \gcd(3,100)=1, logo podemos usar o Teorema de Euler, que diz:
3^{\varphi(100)}\equiv1\pmod{100}.
Como \varphi(100)=40, concluímos
3^{40}\equiv1\pmod{100}.

Passo 3

Reduzimos o expoente de 3^{1234} módulo 40:
1234 \bmod 40 = 34,
então
3^{1234}\equiv3^{34}\pmod{100}.

Passo 4

Para calcular 3^{34}\bmod100, usamos exponenciação rápida por quadrados:
3^2 = 9,
3^4 = 9^2 = 81\pmod{100},
3^8 = 81^2 = 6561 \equiv61\pmod{100},
3^{16} = 61^2 = 3721 \equiv21\pmod{100},
3^{32} = 21^2 = 441 \equiv41\pmod{100}.

Passo 5

Agora
3^{34} = 3^{32}\cdot3^2 \equiv 41 \cdot 9 = 369 \equiv 69 \pmod{100}.

Resposta

69

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