Qual os dois últimos dígitos do námero 3^{1120}

Passo 1

O enunciado pede os dois últimos dígitos de 3^{1120}. Isto é, queremos calcular
3^{1120}\bmod 100.
O conteúdo principal aqui é aritmética modular, usando o Teorema de Euler.

Passo 2

Verificamos que \gcd(3,100)=1, logo podemos aplicar o Teorema de Euler, que diz que
3^{\varphi(100)} \equiv 1 \pmod{100},
onde \varphi(100) é a função totiente de Euler.

Passo 3

Calculamos \varphi(100). Como 100=2^2\cdot5^2, vale
\varphi(100)=100\Bigl(1-\tfrac12\Bigr)\Bigl(1-\tfrac15\Bigr)=100\cdot\tfrac12\cdot\tfrac45=40.
Portanto
3^{40}\equiv1\pmod{100}.

Passo 4

Reduzimos o expoente 1120 módulo 40:
1120 \bmod 40 = 0,
pois 1120 = 28\cdot40. Logo podemos escrever
3^{1120} = \bigl(3^{40}\bigr)^{28}\equiv1^{28}\equiv1\pmod{100}.

Passo 5

Concluímos que 3^{1120}\equiv1\pmod{100}, ou seja, os dois últimos dígitos são 01.

Resposta

01

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