Mostrar mediante um exemplo que a^{2} \equiv b^{2}(\bmod m) nào implica a \equiv b(\bmod m)

Passo 1

Queremos mostrar, por meio de um contra-exemplo, que a congruência
a^2 \equiv b^2 \pmod{m}
não força necessariamente
a \equiv b \pmod{m}.
Ou seja, basta encontrar inteiros a,b e módulo m tais que a^2 e b^2 sejam congruentes módulo m, mas a e b não sejam.

Passo 2

Escolhemos, por exemplo, m = 8, a = 1 e b = 3. Calculamos:
1^2 = 1, \quad 3^2 = 9 \equiv 1 \pmod{8}.
Logo,
1^2 \equiv 3^2 \pmod{8}.
Mas claramente
1 \not\equiv 3 \pmod{8},
pois 3 - 1 = 2 não é múltiplo de 8.

Resposta

Um exemplo é a=1, b=3 e m=8. Então
1^2 \equiv 3^2 \pmod{8}
porém
1 \not\equiv 3 \pmod{8}.

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