204. Se A=\left[ \begin{array}{ll} 1 & 7 \\ 2 & 6 \end{array}\right], B=\left[ \begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{array}\right] e C=\left[ \begin{array}{ll} 0 & 2 \\ 2 & 0 \end{array}\right] .
]
determine X em cada uma das equaçōes abaixo:
3 X+A=B-X

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A=\begin{pmatrix}1 & 7\\[4pt]2 & 6\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]4 & 3\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}0 & 2\\[4pt]2 & 0\end{pmatrix}
e pede para determinar X que satisfaz a equação
3X + A = B - X.
O que se pede é encontrar a matriz X (da mesma ordem de A e B) que torna a igualdade verdadeira.]

Passo 2

Antes de manipular, lembrança rápida (fórmulas e regras que vou usar).
  • Somar ou subtrair matrizes é feito entrada a entrada: se M=(m_{ij}) e N=(n_{ij}), então M+N=(m_{ij}+n_{ij}) e M-N=(m_{ij}-n_{ij}).
  • Multiplicação por escalar é também entrada a entrada: se k é escalar, kM=(k\,m_{ij}).
    Essas operações são compatíveis aqui porque A e B são matrizes 2\times2, logo X também será 2\times2.

Passo 3

Faço as operações algébricas com a equação matricial exatamente como faria com números: juntar os termos com X do mesmo lado e isolar X.
3X + A = B - X
Somando X em ambos os lados:
3X + X + A = B
Como 3X+X = 4X, fica
4X + A = B.
Subtraindo A em ambos os lados:
4X = B - A.
Multiplicando por \tfrac{1}{4}:
X = \tfrac{1}{4}\,(B - A).

Passo 4

Agora calculo B-A entrada a entrada usando os valores dados:
B-A= \begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]4 & 3\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1 & 7\\[4pt]2 & 6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2-1 & 1-7\\[4pt]4-2 & 3-6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & -6\\[4pt]2 & -3\end{pmatrix}.]

Passo 5

Multiplico por \tfrac{1}{4} (escala cada entrada):
X=\tfrac{1}{4}\begin{pmatrix}1 & -6\\[4pt]2 & -3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{1}{4} & -\tfrac{6}{4}\\[4pt]\tfrac{2}{4} & -\tfrac{3}{4}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{1}{4} & -\tfrac{3}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2} & -\tfrac{3}{4}\end{pmatrix}.]

Passo 6

Checagem rápida (opcional, mas ajuda a confiar no resultado). Calculo 3X+A e B-X e verifico que são iguais.
Primeiro 3X:
3X=\begin{pmatrix}\tfrac{3}{4} & -\tfrac{9}{2}\\[4pt]\tfrac{3}{2} & -\tfrac{9}{4}\end{pmatrix}.
Então
3X+A= \begin{pmatrix}\tfrac{3}{4}+1 & -\tfrac{9}{2}+7\\[4pt]\tfrac{3}{2}+2 & -\tfrac{9}{4}+6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{7}{4} & \tfrac{5}{2}\\[4pt]\tfrac{7}{2} & \tfrac{15}{4}\end{pmatrix}.
Agora B-X:
B-X= \begin{pmatrix}2-\tfrac{1}{4} & 1-(-\tfrac{3}{2})\\[4pt]4-\tfrac{1}{2} & 3-(-\tfrac{3}{4})\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{7}{4} & \tfrac{5}{2}\\[4pt]\tfrac{7}{2} & \tfrac{15}{4}\end{pmatrix}.
Como 3X+A = B-X, o X encontrado está correto.]

Resposta

X=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{4} & -\tfrac{3}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2} & -\tfrac{3}{4}\end{pmatrix}]

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