204. Se A=\left[ \begin{array}{ll} 1 & 7 \\ 2 & 6 \end{array}\right], B=\left[ \begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{array}\right] e C=\left[ \begin{array}{ll} 0 & 2 \\ 2 & 0 \end{array}\right] .
]
determine X em cada uma das equaçōes abaixo:
2 X+A=3 B+C

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Matrizes fornecidas (peguei diretamente do enunciado):
    • A=\begin{bmatrix}1 & 7 \\[4pt] 2 & 6\end{bmatrix}
    • B=\begin{bmatrix}2 & 1 \\[4pt] 4 & 3\end{bmatrix}
    • C=\begin{bmatrix}0 & 2 \\[4pt] 2 & 0\end{bmatrix}
  • A equação que devemos resolver é:
    2X + A = 3B + C.
  • O que o enunciado pede: determinar a matriz X que satisfaz essa equação.]

Passo 2

Isolar X na equação. Isso é álgebra matricial simples: podemos operar com matrizes como se fossem números, respeitando que soma e multiplicação por escalar são feitas entrada a entrada. Primeiro passo algébrico:
2X = 3B + C - A.
Em seguida, multiplicamos por \tfrac{1}{2} (ou dividimos por 2) para obter X:
X = \tfrac{1}{2}\big(3B + C - A\big).
Explicação rápida das operações usadas:
  • Multiplicação por escalar: multiplicar uma matriz por um número (por exemplo 3 ou \tfrac{1}{2}) significa multiplicar cada elemento da matriz por esse número.
  • Soma/subtração de matrizes: somam-se/subtraem-se as entradas correspondentes, posição a posição.

Passo 3

Calcular 3B. Multiplicar cada entrada de B por 3:
3B = 3\begin{bmatrix}2 & 1 \\[4pt] 4 & 3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3\cdot 2 & 3\cdot 1 \\[4pt] 3\cdot 4 & 3\cdot 3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}6 & 3 \\[4pt] 12 & 9\end{bmatrix}.]

Passo 4

Calcular 3B + C. Soma entrada a entrada entre \,3B (que calculamos) e C:
3B + C = \begin{bmatrix}6 & 3 \\[4pt] 12 & 9\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0 & 2 \\[4pt] 2 & 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}6+0 & 3+2 \\[4pt] 12+2 & 9+0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}6 & 5 \\[4pt] 14 & 9\end{bmatrix}.]

Passo 5

Calcular 3B + C - A. Subtrair A entrada a entrada do resultado anterior:
3B + C - A = \begin{bmatrix}6 & 5 \\[4pt] 14 & 9\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}1 & 7 \\[4pt] 2 & 6\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}6-1 & 5-7 \\[4pt] 14-2 & 9-6\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5 & -2 \\[4pt] 12 & 3\end{bmatrix}.]

Passo 6

Aplicar o fator \tfrac{1}{2} para obter X. Multiplicar cada entrada por \tfrac{1}{2}:
X = \tfrac{1}{2}\begin{bmatrix}5 & -2 \\[4pt] 12 & 3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\tfrac{5}{2} & -1 \\[4pt] 6 & \tfrac{3}{2}\end{bmatrix}.
Comentário final rápido: verifiquei que cada passo foi apenas multiplicação por escalar e soma/subtração entrada a entrada, sem necessidade de inversa ou multiplicação matricial complicada — ideal para fazer sem calculadora.]

Resposta

X=\begin{bmatrix}\tfrac{5}{2} & -1 \\[4pt] 6 & \tfrac{3}{2}\end{bmatrix}]

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