(20p) Com base na equação 1, determine o fluxo de massa para na garganta de um bocal convergente divergente que possui 50 mm de diâmetro. Pressão p_{0}=8 \mathrm{kgf} / \mathrm{cm}^{2} abs t_{0}=33^{\circ} \mathrm{C} \quad p=5 \mathrm{kgf} / \mathrm{cm}^{2} abs na garganta do bocal. K=1,4, R=287 \mathrm{~m} . \mathrm{N} / \mathrm{kg} . \mathrm{K}
\dot{m}=\rho V A=A \sqrt{2 p_{0} p_{0} \frac{k}{k-1}\left(\frac{p}{p_{0}}\right)^{2 / k}\left[1-\left(\frac{p}{p_{0}}\right)^{(k-1) / k}\right]}

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de massa na garganta de um bocal convergente–divergente (ou seja, a vazão mássica que atravessa a seção de garganta). Os dados fornecidos são:
p_{0}=8\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}\\ \text{(absoluta)},\quad t_{0}=33^\circ\mathrm{C},\quad p=5\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}\\ \text{(absoluta)}
d_{\text{garganta}}=50\\ \mathrm{mm},\quad k=1{,}4,\quad R=287\\ \mathrm{m\cdot N/(kg\cdot K)}.
O que devemos encontrar é \dot{m} (em \mathrm{kg/s}) para a seção de garganta de diâmetro dado. Observação importante: as pressões foram dadas em \mathrm{kgf/cm^{2}}, a temperatura em graus Celsius e o diâmetro em milímetros — teremos que converter para unidades SI antes de calcular.

Passo 2

Converto todas as grandezas para SI (explico cada conversão):
  • Pressão: 1\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}=9{,}80665\\ \mathrm{N/cm^{2}}=9{,}80665\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}. p_{0}=8\times9{,}80665\times10^{4}=784{,}532\\ \mathrm{Pa},
p=5\times9{,}80665\times10^{4}=490{,}332{,}5\\ \mathrm{Pa}.
  • Temperatura total: t_{0}=33^\circ\mathrm{C}\Rightarrow T_{0}=33+273{,}15=306{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Diâmetro: d=50\\ \mathrm{mm}=0{,}050\\ \mathrm{m}. Área da garganta: A=\frac{\pi d^{2}}{4}=\frac{\pi (0{,}050)^{2}}{4}=\pi\cdot0{,}000625=0{,}0019634954\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 3

Explico a teoria necessária (passo a passo, sem pular nada):
  • Para um escoamento isentrópico (adiabático e reversível) de gás perfeito, a relação entre a pressão estática p e a pressão total (estagnação) p_{0} em função do número de Mach M é \frac{p}{p_{0}}=\left(1+\frac{k-1}{2}M^{2}\right)^{-\frac{k}{k-1}}.Aqui k é a razão de calores específicos ( c_p/c_v) e M é o número de Mach local (velocidade dividida pela velocidade do som).
  • Dado \dfrac{p}{p_{0}}, podemos inverter essa relação para obter M. Reorganizando: 1+\frac{k-1}{2}M^{2}=\left(\frac{p}{p_{0}}\right)^{-\frac{k-1}{k}}.Logo M^{2}=\frac{2}{k-1}\left[\left(\frac{p}{p_{0}}\right)^{-\frac{k-1}{k}}-1\right],e M=\sqrt{M^{2}} (tomando a raiz positiva para velocidade).
  • A vazão mássica pode ser escrita a partir de \dot{m}=\rho V A. Usando relações termodinâmicas e a definição do número de Mach, há uma expressão conveniente em termos de grandezas totais p_{0},T_{0} e M: \dot{m}=p_{0}A\sqrt{\frac{k}{R T_{0}}}\; M\left(1+\frac{k-1}{2}M^{2}\right)^{-\frac{k+1}{2(k-1)}}.Vou explicar de onde vem essa fórmula, pois é útil na prova:
    • A velocidade local é V=M\sqrt{k R T}, onde T é a temperatura estática local.
    • A densidade local é \rho=\dfrac{p}{R T}.
    • A combinação \rho V = \dfrac{p}{R T} M\sqrt{k R T} = \dfrac{p M \sqrt{k}}{\sqrt{R T}}.
    • Relacionando T com T_{0}: T=T_{0}\left(1+\dfrac{k-1}{2}M^{2}\right)^{-1}.
    • Relacionando p com p_{0} pela relação dada antes.
    • Substituindo e simplificando chega-se à fórmula que expressa \dot{m} em função de p_{0},T_{0},A,M,k,R indicada acima. Esta forma é prática pois usa (p_{0},T_{0}) conhecidos e M encontrado a partir de p/p_{0}.

Passo 4

Calculo numericamente o número de Mach M a partir de \dfrac{p}{p_{0}}:
  • Primeiro computo a razão: \frac{p}{p_{0}}=\frac{490{,}332{,}5}{784{,}532}=0{,}625.
  • Uso a fórmula invertida: M^{2}=\frac{2}{k-1}\left[\left(0{,}625\right)^{-\frac{k-1}{k}}-1\right].Com k=1{,}4 temos \dfrac{k-1}{k}=\dfrac{0{,}4}{1{,}4}=0{,}285714. \left(0{,}625\right)^{-0{,}285714}\approx1{,}14382.Então M^{2}=\frac{2}{0{,}4}\left(1{,}14382-1\right)=5\cdot0{,}14382=0{,}7191,
M=\sqrt{0{,}7191}\approx0{,}8486.
Comentário didático: M\approx0{,}85 indica que o escoamento na garganta é sub-sônico (não está chocado/engarrafado por atingir M=1). Isso é algo que você pode checar rápido na prova: se p/p_{0} estivesse menor que a razão crítica \left(\dfrac{2}{k+1}\right)^{\frac{k}{k-1}} teríamos escoamento sônico (engasgado). Aqui não ocorreu isso.

Passo 5

Agora aplico a fórmula de vazão mássica em função de p_{0},T_{0},A,M:
\dot{m}=p_{0}A\sqrt{\frac{k}{R T_{0}}}\; M\left(1+\frac{k-1}{2}M^{2}\right)^{-\frac{k+1}{2(k-1)}}.
Vou calcular cada fator numericamente, mostrando as contas:
  • Primeiro o fator raíz: \sqrt{\frac{k}{R T_{0}}}=\sqrt{\frac{1{,}4}{287\cdot306{,}15}}.Calculo o denominador: 287\cdot306{,}15=87{,}865{,}05 (aprox.). Então \frac{k}{R T_{0}}\approx\frac{1{,}4}{87{,}865{,}05}\approx1{,}5930\times10^{-5},
\sqrt{\frac{k}{R T_{0}}}\approx0{,}003992.
  • O produto p_{0}A: p_{0}A=784{,}532\\ \mathrm{Pa}\times0{,}0019634954\\ \mathrm{m^{2}}\approx1{,}540{,}08\\ \mathrm{N}.(Unidade \mathrm{Pa\cdot m^{2}}=\mathrm{N}, que ao multiplicar pelo fator adimensional e por 1/\sqrt{\mathrm{(RT)}} levará a \mathrm{kg/s}.)
  • O fator da velocidade: M\approx0{,}8486.
  • Cálculo de 1+\dfrac{k-1}{2}M^{2}: 1+\frac{k-1}{2}M^{2}=1+\frac{0{,}4}{2}\cdot0{,}7191=1+0{,}2\cdot0{,}7191=1{,}14382.Exponenciação: -\frac{k+1}{2(k-1)}=-\frac{2{,}4}{2\cdot0{,}4}=-\frac{2{,}4}{0{,}8}=-3.Então \left(1+\frac{k-1}{2}M^{2}\right)^{-\frac{k+1}{2(k-1)}}=(1{,}14382)^{-3}\approx0{,}6680.
  • Agora junto tudo: \dot{m}= (p_{0}A)\times\sqrt{\frac{k}{R T_{0}}}\times M\times(1{,}14382)^{-3}.Substituindo números: \dot{m}\approx 1{,}540{,}08\times0{,}003992\times0{,}8486\times0{,}6680.Faço as multiplicações em ordem: 1{,}540{,}08\times0{,}003992\approx6{,}149,
6{,}149\times0{,}8486\approx5{,}219,
5{,}219\times0{,}6680\approx3{,}485.
Portanto
\dot{m}\approx3{,}49\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 6

Interpretação e checagem rápida (para prova): o resultado está coerente com M<1 e com as ordens de grandeza típicas para um orifício de cerca de 2{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{2}} sob essas pressões. Se o escoamento tivesse ficado chocado (ou seja, p/p_{0} menor que a razão crítica), precisaríamos usar a condição de fluxo sônico ( M=1) e a fórmula de fluxo mássico crítico; não é o caso aqui.

Resposta

\dot{m}\approx3{,}49\\ \mathrm{kg/s}

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