2-79 Design an experiment to measure the viscosity of liquids using a vertical funnel with a cylindrical reservoir of height
and a narrow flow section of diameter
and length
. Making appropriate assumptions, obtain a relation for viscosity in terms of easily measurable quantities such as density and volume flow rate.
Passo 1
O enunciado pede que eu projete um experimento capaz de medir a viscosidade de líquidos usando um funil vertical composto de um reservatório cilíndrico de altura
e uma seção de escoamento estreita (um tubo) de diâmetro
e comprimento
. Preciso obter uma relação para a viscosidade (dinâmica) do líquido em termos de quantidades de fácil medição: densidade, vazão volumétrica, dimensões geométricas, etc.
Informações dadas (explicitadas):
Informações dadas (explicitadas):
- altura do reservatório:
(medida vertical do nível do líquido até a saída do tubo, ou diferença de nível que gera pressão); - diâmetro do trecho estreito (tubo):
; - comprimento desse trecho estreito:
.
O que devo fornecer: uma fórmula que permita calcular a viscosidade dinâmicaa partir de medições como densidade e vazão volumétrica (que é fácil de medir coletando volume em tempo).
Passo 2
Vamos listar as hipóteses físicas razoáveis (essas hipóteses são importantes porque a fórmula final depende delas):
- O escoamento no trecho estreito é laminar, estacionário e totalmente desenvolvido (perfil de velocidade permanente ao longo do comprimento do tubo).
- O trecho estreito é cilíndrico, rígido, com diâmetro
e comprimento , e é suficientemente grande para que o escoamento esteja desenvolvido (veremos critério adiante). - A perda de carga viscosa domina; perdas de energia por entrada/saída ou por turbilhonamento são desprezadas (ou pequenas).
- A pressão que impulsiona o fluxo através do trecho estreito é a pressão hidrostática criada pelo nível do líquido no reservatório:
. (Isto supõe que a velocidade média no reservatório é muito pequena e que não há quedas significativas além da cabeça hidrostática.) - Temperatura constante (pois
depende fortemente da temperatura).
Com essas hipóteses, podemos usar a lei de Hagen–Poiseuille para um tubo cilíndrico laminar.
Passo 3
Apresentando a equação de Hagen–Poiseuille e explicando de onde vem (mini-aula):
- Para escoamento laminar, incompressível, estacionário e totalmente desenvolvido num tubo cilíndrico de raio
( ), a equação que governa o perfil axial de velocidade (em coordenadas cilíndricas) vem do equilíbrio entre gradiente de pressão e esforço cortante viscoso:
onde
é a direção axial,
é a coordenada radial,
é o gradiente de pressão (negativo se a pressão diminui no sentido do escoamento), e
é a viscosidade dinâmica.
- Integramos essa ODE duas vezes. Integração 1:
Dividindo por
e integrando novamente e impondo as condições: velocidade finita em
(o que força
) e condição de não deslizamento na parede
, obtemos o perfil parabólico
- A vazão volumétrica
é a integral do perfil de velocidade sobre a seção transversal:
Fazendo a integral (mini-cálculo): primeiro a integral em
dá
, e a integral radial dá
. Assim
onde usei
(a queda de pressão ao longo do comprimento
). Observação: o sinal menos só indica que a pressão decresce no sentido do fluxo; aqui usaremos magnitudes:
- Substituindo
(e lembrando que ) obtemos a forma usual da lei de Hagen–Poiseuille:
Passo 4
Expressando a pressão impulsora pela cabeça hidrostática: com as hipóteses do passo 2, a diferença de pressão entre a superfície livre do reservatório e a saída do tubo é a pressão hidrostática
onde
é a densidade do líquido e
a aceleração da gravidade (valor conhecido,
). Substituindo
na expressão de Hagen–Poiseuille:
Passo 5
Isolando a viscosidade
(a incógnita que queremos medir) da equação acima:
Explicando cada variável da fórmula final:
-
: viscosidade dinâmica (que queremos determinar); -
: diâmetro do trecho estreito (medido com paquímetro, micrômetro, etc.); -
: densidade do líquido (medida separadamente ou obtida de tabelas para dada temperatura); -
: aceleração da gravidade (use ou valor local); -
: diferença de nível que gera a pressão (medida verticalmente entre a superfície livre do reservatório e o centro da saída do tubo); -
: comprimento do trecho estreito (medido); -
: vazão volumétrica, que se mede coletando um volume em um tempo , .
Passo 6
Como executar o experimento na prática (procedimento passo‑a‑passo prático e dicas):
- Monte o funil com reservatório amplo e o tubo de comprimento
e diâmetro na vertical. Meça e com precisão. - Encha o reservatório até uma altura
conhecida acima do centro da saída do tubo (ou do ponto de referência que define ). Meça . - Deixe o líquido escoar em regime estacionário; colete um volume
do líquido na saída durante um tempo cronometrado . Calcule . - Meça (ou consulte) a densidade
do líquido à temperatura do experimento. - Calcule
pela fórmula
Dicas: mantenha temperatura constante; use reservatório com área de seção transversal grande para que o nível
não caia muito durante a amostragem; repita medições e faça média.
Passo 7
Verificações da validade das hipóteses e correções que talvez precise fazer:
- Critério de escoamento laminar: calcule o número de Reynolds médio
onde a velocidade média
e
. Substituindo,
Como
é o que estamos medindo, depois de calcular
usando a fórmula do Passo 5, verifique
(para garantir escoamento laminar). Se
sair maior, a hipótese laminar é inválida e a fórmula de Poiseuille não se aplica.
- Comprimento de entrada (para desenvolvimento do perfil): o comprimento necessário para que o perfil seja totalmente desenvolvido em tubos laminares é aproximadamente
. Garanta (por exemplo e ainda maior se Re for elevado). - Perdas por entrada/saída: se
for curto ou houver fortes singularidades na entrada, pode haver perdas adicionais. Esses termos podem ser considerados como uma perda adicional de carga ; porém para baixas velocidades (como em ensaios de viscosidade) esse termo costuma ser pequeno e pode ser desprezado. - Variação do nível
durante a medição: use reservatório grande ou meça rápido para que permaneça aproximadamente constante; caso contrário, faça correção integrando a variação de .
Passo 8
Unidades e verificação dimensional rápida (importante para provas e para não errar sinais):
- No SI:
em metros (m); em ; em ; em . Então terá unidades . Verificação rápida: (m^4) × (kg/(m·s^2)·m = kg/(m·s^2)·m = kg/(m·s^2)·m = kg/(m·s^2)?) — mais direto: numerador dimensional: m^4 × (kg/m^3 × m/s^2 × m) = m^4 × (kg/(m·s^2)) = kg·m3/s2. Denominador: Q (m^3/s) × L (m) => m^4/s. Então razão dá kg/(m·s) = Pa·s, correto.
Passo 9
Resumo prático e conselho final (motivação): com a fórmula deduzida e um cuidado simples para manter escoamento laminar (fluxo reduzido, tubo longo o suficiente), você poderá medir viscosidade de maneira simples mesurando apenas
,
,
,
e a vazão
. Essa é uma técnica clássica de laboratório — simples, confiável e ótima para uma prova: deduza Poiseuille, substitua
e isole
.