2-79 Design an experiment to measure the viscosity of liquids using a vertical funnel with a cylindrical reservoir of height h and a narrow flow section of diameter D and length L. Making appropriate assumptions, obtain a relation for viscosity in terms of easily measurable quantities such as density and volume flow rate.

Passo 1

O enunciado pede que eu projete um experimento capaz de medir a viscosidade de líquidos usando um funil vertical composto de um reservatório cilíndrico de altura h e uma seção de escoamento estreita (um tubo) de diâmetro D e comprimento L. Preciso obter uma relação para a viscosidade (dinâmica) do líquido em termos de quantidades de fácil medição: densidade, vazão volumétrica, dimensões geométricas, etc.
Informações dadas (explicitadas):
  • altura do reservatório: h (medida vertical do nível do líquido até a saída do tubo, ou diferença de nível que gera pressão);
  • diâmetro do trecho estreito (tubo): D;
  • comprimento desse trecho estreito: L.
    O que devo fornecer: uma fórmula que permita calcular a viscosidade dinâmica \mu a partir de medições como densidade \rho e vazão volumétrica Q (que é fácil de medir coletando volume em tempo).

Passo 2

Vamos listar as hipóteses físicas razoáveis (essas hipóteses são importantes porque a fórmula final depende delas):
  1. O escoamento no trecho estreito é laminar, estacionário e totalmente desenvolvido (perfil de velocidade permanente ao longo do comprimento do tubo).
  2. O trecho estreito é cilíndrico, rígido, com diâmetro D e comprimento L, e L é suficientemente grande para que o escoamento esteja desenvolvido (veremos critério adiante).
  3. A perda de carga viscosa domina; perdas de energia por entrada/saída ou por turbilhonamento são desprezadas (ou pequenas).
  4. A pressão que impulsiona o fluxo através do trecho estreito é a pressão hidrostática criada pelo nível do líquido no reservatório: \Delta P=\rho g h. (Isto supõe que a velocidade média no reservatório é muito pequena e que não há quedas significativas além da cabeça hidrostática.)
  5. Temperatura constante (pois \mu depende fortemente da temperatura).
Com essas hipóteses, podemos usar a lei de Hagen–Poiseuille para um tubo cilíndrico laminar.

Passo 3

Apresentando a equação de Hagen–Poiseuille e explicando de onde vem (mini-aula):
  • Para escoamento laminar, incompressível, estacionário e totalmente desenvolvido num tubo cilíndrico de raio R ( R=D/2), a equação que governa o perfil axial de velocidade u(r) (em coordenadas cilíndricas) vem do equilíbrio entre gradiente de pressão e esforço cortante viscoso:
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{du}{dr}\right)=\frac{1}{\mu}\frac{dP}{dx},
onde x é a direção axial, r é a coordenada radial, dP/dx é o gradiente de pressão (negativo se a pressão diminui no sentido do escoamento), e \mu é a viscosidade dinâmica.
  • Integramos essa ODE duas vezes. Integração 1:
r\frac{du}{dr}=\frac{1}{\mu}\frac{dP}{dx}\cdot\frac{r^{2}}{2}+C_1.
Dividindo por r e integrando novamente e impondo as condições: velocidade finita em r=0 (o que força C_1=0) e condição de não deslizamento na parede u(R)=0, obtemos o perfil parabólico
u(r)=\frac{1}{4\mu}\frac{dP}{dx}\,(R^{2}-r^{2}).
  • A vazão volumétrica Q é a integral do perfil de velocidade sobre a seção transversal:
Q=\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{R} u(r)\,r\,dr\,d\theta.
Fazendo a integral (mini-cálculo): primeiro a integral em \theta 2\pi, e a integral radial dá \int_{0}^{R}\frac{1}{4\mu}\frac{dP}{dx}(R^{2}-r^{2})r\,dr = \frac{1}{8\mu}\frac{dP}{dx}R^{4}. Assim
Q = -\frac{\pi R^{4}}{8\mu}\left(\frac{\Delta P}{L}\right),
onde usei \Delta P = -\frac{dP}{dx} L (a queda de pressão ao longo do comprimento L). Observação: o sinal menos só indica que a pressão decresce no sentido do fluxo; aqui usaremos magnitudes:
Q = \frac{\pi R^{4}}{8\mu}\cdot\frac{\Delta P}{L}.
  • Substituindo R=D/2 (e lembrando que R^{4}=(D^{4})/16) obtemos a forma usual da lei de Hagen–Poiseuille:
Q = \frac{\pi D^{4}}{128\,\mu\,L}\,\Delta P.

Passo 4

Expressando a pressão impulsora pela cabeça hidrostática: com as hipóteses do passo 2, a diferença de pressão entre a superfície livre do reservatório e a saída do tubo é a pressão hidrostática
\Delta P = \rho g h,
onde \rho é a densidade do líquido e g a aceleração da gravidade (valor conhecido, g\approx 9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}). Substituindo \Delta P na expressão de Hagen–Poiseuille:
Q = \frac{\pi D^{4}}{128\,\mu\,L}\,\rho g h.

Passo 5

Isolando a viscosidade \mu (a incógnita que queremos medir) da equação acima:
\mu = \frac{\pi D^{4}\,\rho g h}{128\,Q\,L}.
Explicando cada variável da fórmula final:
  • \mu: viscosidade dinâmica (que queremos determinar);
  • D: diâmetro do trecho estreito (medido com paquímetro, micrômetro, etc.);
  • \rho: densidade do líquido (medida separadamente ou obtida de tabelas para dada temperatura);
  • g: aceleração da gravidade (use 9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}} ou valor local);
  • h: diferença de nível que gera a pressão (medida verticalmente entre a superfície livre do reservatório e o centro da saída do tubo);
  • L: comprimento do trecho estreito (medido);
  • Q: vazão volumétrica, que se mede coletando um volume V em um tempo t, \;Q=V/t.

Passo 6

Como executar o experimento na prática (procedimento passo‑a‑passo prático e dicas):
  1. Monte o funil com reservatório amplo e o tubo de comprimento L e diâmetro D na vertical. Meça D e L com precisão.
  2. Encha o reservatório até uma altura h conhecida acima do centro da saída do tubo (ou do ponto de referência que define \Delta P). Meça h.
  3. Deixe o líquido escoar em regime estacionário; colete um volume V do líquido na saída durante um tempo cronometrado t. Calcule Q=V/t.
  4. Meça (ou consulte) a densidade \rho do líquido à temperatura do experimento.
  5. Calcule \mu pela fórmula
\mu = \frac{\pi D^{4}\,\rho g h}{128\,Q\,L}.
Dicas: mantenha temperatura constante; use reservatório com área de seção transversal grande para que o nível h não caia muito durante a amostragem; repita medições e faça média.

Passo 7

Verificações da validade das hipóteses e correções que talvez precise fazer:
  • Critério de escoamento laminar: calcule o número de Reynolds médio
\mathrm{Re}=\frac{\rho V_{\mathrm{avg}} D}{\mu},
onde a velocidade média V_{\mathrm{avg}}=Q/A e A=\pi D^{2}/4. Substituindo,
\mathrm{Re}=\frac{4\rho Q}{\pi D \mu}.
Como \mu é o que estamos medindo, depois de calcular \mu usando a fórmula do Passo 5, verifique \mathrm{Re}<2000 (para garantir escoamento laminar). Se \mathrm{Re} sair maior, a hipótese laminar é inválida e a fórmula de Poiseuille não se aplica.
  • Comprimento de entrada (para desenvolvimento do perfil): o comprimento necessário para que o perfil seja totalmente desenvolvido em tubos laminares é aproximadamente L_{\text{entry}}\approx 0{,}05\,\mathrm{Re}\,D. Garanta L\gg L_{\text{entry}} (por exemplo L>5D e ainda maior se Re for elevado).
  • Perdas por entrada/saída: se L for curto ou houver fortes singularidades na entrada, pode haver perdas adicionais. Esses termos podem ser considerados como uma perda adicional de carga K\cdot \tfrac{1}{2}\rho V_{\mathrm{avg}}^{2}; porém para baixas velocidades (como em ensaios de viscosidade) esse termo costuma ser pequeno e pode ser desprezado.
  • Variação do nível h durante a medição: use reservatório grande ou meça rápido para que h permaneça aproximadamente constante; caso contrário, faça correção integrando a variação de h(t).

Passo 8

Unidades e verificação dimensional rápida (importante para provas e para não errar sinais):
  • No SI: D, L, h em metros (m); Q em \mathrm{m^{3}/s}; \rho em \mathrm{kg/m^{3}}; g em \mathrm{m/s^{2}}. Então \mu terá unidades \mathrm{Pa\cdot s} = \mathrm{kg/(m\cdot s)}. Verificação rápida: D^{4} (m^4) × \rho g h (kg/(m·s^2)·m = kg/(m·s^2)·m = kg/(m·s^2)·m = kg/(m·s^2)?) — mais direto: numerador dimensional: m^4 × (kg/m^3 × m/s^2 × m) = m^4 × (kg/(m·s^2)) = kg·m3/s2. Denominador: Q (m^3/s) × L (m) => m^4/s. Então razão dá kg/(m·s) = Pa·s, correto.

Passo 9

Resumo prático e conselho final (motivação): com a fórmula deduzida e um cuidado simples para manter escoamento laminar (fluxo reduzido, tubo longo o suficiente), você poderá medir viscosidade de maneira simples mesurando apenas h, D, L, \rho e a vazão Q. Essa é uma técnica clássica de laboratório — simples, confiável e ótima para uma prova: deduza Poiseuille, substitua \Delta P=\rho g h e isole \mu.

Resposta

\mu = \frac{\pi D^{4}\,\rho g h}{128\,Q\,L}

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