2-78 Consider a 30-\mathrm{cm}-long journal bearing that is lubricated with oil whose viscosity is 0.1 \mathrm{~kg} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{s} at 20^{\circ} \mathrm{C} at the beginning of operation and 0.008 \mathrm{~kg} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{s} at the anticipated steady operating temperature of 80^{\circ} \mathrm{C}. The diameter of the shaft is 8 cm , and the average gap between the shaft and the journal is 0.08 cm . Determine the torque needed to overcome the bearing friction initially and during steady operation when the shaft is rotated at 500 rpm .

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados (vou listar tudo explicitamente para a gente não se perder):
L=0,30\\ \mathrm{m}
\mu_{\text{inicial}}=0,1\\ \mathrm{kg/(m\cdot s)}
\mu_{\text{oper}}=0,008\\ \mathrm{kg/(m\cdot s)}
d=0,08\\ \mathrm{m}\quad\Rightarrow\quad R=\frac{d}{2}=0,04\\ \mathrm{m}
\text{folga média } h=0,08\\ \mathrm{cm}=0,0008\\ \mathrm{m}é
n=500\\ \text{rpm}
O que se pede:
  • Determinar o torque necessário para vencer o atrito do mancal (bearing) inicialmente (com \mu=0,1) e em regime (com \mu=0,008), quando o eixo gira a 500 rpm.

Passo 2

Entendendo fisicamente e a aproximação usada (passo importante para a prova — vou explicar devagar e sem jargão):
  • A folga entre eixo e mancal é muito pequena ( h\ll R ), então o escoamento do óleo na região tangencial pode ser aproximado por um escoamento do tipo Couette (perfil de velocidade aproximadamente linear entre a superfície em movimento e a parede estacionária).
  • Nesse caso a velocidade tangencial da superfície do eixo é u=\omega R e a parede do mancal está praticamente parada, então o gradiente de velocidade transversal é aproximadamente \dfrac{du}{dy}\approx\dfrac{\omega R}{h}.
  • A tensão de cisalhamento (shear stress) no fluido é dada pela lei de Newton para fluidos viscosos:
\tau=\mu\frac{du}{dy}\approx\mu\frac{\omega R}{h},
onde \tau tem unidade \mathrm{N/m^2}, \mu é a viscosidade dinâmica em \mathrm{kg/(m\cdot s)} e \omega é a velocidade angular em \mathrm{rad/s}.

Passo 3

Agora traduzimos essa tensão de cisalhamento em força tangencial e em torque:
  • Força tangencial por unidade de comprimento (na direção axial) sobre a superfície do cilindro é \tau multiplicado pela área por unidade de comprimento, que é a circunferência 2\pi R. Logo a força por unidade de comprimento é
F'=\tau\cdot 2\pi R=2\pi R\mu\frac{\omega R}{h}=2\pi\mu\frac{\omega R^2}{h}.
  • O torque por unidade de comprimento é essa força por unidade de comprimento vezes o braço R:
T' = F'\,R = 2\pi\mu\frac{\omega R^3}{h}.
  • Para o mancal de comprimento total L o torque total é
\boxed{T = 2\pi\mu\,\frac{\omega R^3 L}{h}.}
Essa fórmula é a que vamos usar. Ela foi obtida assumindo perfil quase linear no gap (aplicável quando h\ll R) e que o mancal externo está fixo.

Passo 4

Calcular a velocidade angular \omega a partir de n=500\\ \mathrm{rpm}:
\omega = 2\pi\frac{n}{60}=2\pi\frac{500}{60}=\frac{50\pi}{3}\\ \mathrm{rad/s}\approx 52,3598776\\ \mathrm{rad/s}.
Vou usar \omega\approx 52,3599\\ \mathrm{rad/s} nas contas.

Passo 5

Substituímos os valores conhecidos na fórmula geral. Primeiro vamos calcular o fator geométrico \,R^3 L:
R^3 = (0,04)^3 = 6{,}4\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^3},
R^3 L = 6{,}4\times 10^{-5}\times 0{,}30 = 1{,}92\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^4}.
Agora a expressão do torque numérica:
T = 2\pi\mu\,\frac{\omega (1{,}92\times 10^{-5})}{h}.
Substituindo \omega e h=0{,}0008\\ \mathrm{m}:
T = \mu\cdot\underbrace{\left(\frac{2\pi\cdot 52{,}3598776\cdot 1{,}92\times 10^{-5}}{0{,}0008}\right)}_{\approx 7{,}8946}\approx \mu\cdot 7{,}8946.
Ou seja, numericamente
T\\ (\mathrm{N\cdot m})\approx 7{,}8946\;\mu\\ (\mathrm{kg/(m\cdot s)}).

Passo 6

Torque inicial (usar \mu_{\text{inicial}}=0,1\\ \mathrm{kg/(m\cdot s)}):
T_{\text{inicial}} = 7{,}8946\times 0{,}1 = 0{,}78946\\ \mathrm{N\cdot m}.
Arredondando de forma prática para a prova, podemos escrever
T_{\text{inicial}}\approx 0{,}789\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 7

Torque em regime (usar \mu_{\text{oper}}=0,008\\ \mathrm{kg/(m\cdot s)}):
T_{\text{regime}} = 7{,}8946\times 0{,}008 = 0{,}063157\\ \mathrm{N\cdot m}.
Arredondando:
T_{\text{regime}}\approx 0{,}0632\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 8

Resumo rápido e dica para a prova:
  • A ideia-chave é reconhecer a aproximação de escoamento tipo Couette (perfil linear) quando a folga é pequena; daí vem a expressão \tau=\mu(\omega R/h) e o torque T=2\pi\mu\omega R^3 L/h.
  • Nas contas, mantenha unidades SI (metros, segundos, kg) e converta cm para m antes de elevar ao cubo, senão dá dor de cabeça.
  • Respira fundo: ver esse tipo de derivação passo a passo ajuda muito a decorar o raciocínio.

Resposta

T_{\text{inicial}}=0,789\\ \mathrm{N\cdot m}
T_{\text{regime}}=0,0632\\ \mathrm{N\cdot m}

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