2-78 Consider a 30-\mathrm{cm}-long journal bearing that is lubricated with oil whose viscosity is 0.1 \mathrm{~kg} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{s} at 20^{\circ} \mathrm{C} at the beginning of operation and 0.008 \mathrm{~kg} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{s} at the anticipated steady operating temperature of 80^{\circ} \mathrm{C}. The diameter of the shaft is 8 cm , and the average gap between the shaft and the journal is 0.08 cm . Determine the torque needed to overcome the bearing friction initially and during steady operation when the shaft is rotated at 500 rpm .
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados (vou listar tudo explicitamente para a gente não se perder):
\text{folga média } h=0,08\\ \mathrm{cm}=0,0008\\ \mathrm{m}
n=500\\ \text{rpm}
O que se pede:
Determinar o torque necessário para vencer o atrito do mancal (bearing) inicialmente (com \mu=0,1) e em regime (com \mu=0,008), quando o eixo gira a 500 rpm.
Passo 2
Entendendo fisicamente e a aproximação usada (passo importante para a prova — vou explicar devagar e sem jargão):
A folga entre eixo e mancal é muito pequena ( h\ll R ), então o escoamento do óleo na região tangencial pode ser aproximado por um escoamento do tipo Couette (perfil de velocidade aproximadamente linear entre a superfície em movimento e a parede estacionária).
Nesse caso a velocidade tangencial da superfície do eixo é u=\omega R e a parede do mancal está praticamente parada, então o gradiente de velocidade transversal é aproximadamente \dfrac{du}{dy}\approx\dfrac{\omega R}{h}.
A tensão de cisalhamento (shear stress) no fluido é dada pela lei de Newton para fluidos viscosos:
onde \tau tem unidade \mathrm{N/m^2}, \mu é a viscosidade dinâmica em \mathrm{kg/(m\cdot s)} e \omega é a velocidade angular em \mathrm{rad/s}.
Passo 3
Agora traduzimos essa tensão de cisalhamento em força tangencial e em torque:
Força tangencial por unidade de comprimento (na direção axial) sobre a superfície do cilindro é \tau multiplicado pela área por unidade de comprimento, que é a circunferência 2\pi R. Logo a força por unidade de comprimento é
A ideia-chave é reconhecer a aproximação de escoamento tipo Couette (perfil linear) quando a folga é pequena; daí vem a expressão \tau=\mu(\omega R/h) e o torque T=2\pi\mu\omega R^3 L/h.
Nas contas, mantenha unidades SI (metros, segundos, kg) e converta cm para m antes de elevar ao cubo, senão dá dor de cabeça.
Respira fundo: ver esse tipo de derivação passo a passo ajuda muito a decorar o raciocínio.