(20pts) 2) Seja A=(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z},+, \cdot). Verifique se f: A \longrightarrow A definida por f(x, y)=(y, x) é um homomorfismo 10 de anéis.

Passo 1

O enunciado dá o anel A=(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z},+,\cdot) e a aplicação f:A\longrightarrow A definida por f(x,y)=(y,x). A tarefa é verificar se f é um homomorfismo de anéis. Para ficar bem claro, as perguntas que vou responder são:
  • f preserva a soma? Ou seja, vale f(a+b)=f(a)+f(b) para todos a,b\in A?
  • f preserva o produto? Ou seja, vale f(a\cdot b)=f(a)\cdot f(b) para todos a,b\in A?
  • (Opcional, mas importante) f preserva a unidade multiplicativa (1,1)?
  • f é bijetiva (o que mostraria que é um automorfismo de anéis)?
Informações relevantes fornecidas:
  • Os elementos de A são pares (x,y) com x,y\in\mathbb{Z}.
  • A soma em A é feita coordenada a coordenada: (x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2).
  • O produto em A é também coordenada a coordenada (produto direto de anéis): (x_1,y_1)\cdot(x_2,y_2)=(x_1x_2,y_1y_2).
  • A função f troca as coordenadas: f(x,y)=(y,x).

Passo 2

Definição usada (explicada didaticamente): dizer que f é um homomorfismo de anéis significa, no sentido usual, que para todos a,b\in A valem duas propriedades:
  1. f(a+b)=f(a)+f(b). Aqui a operação + é a adição do anel. Isso garante que f é um homomorfismo de grupos abelianos entre os grupos aditivos subjacentes.
  2. f(a\cdot b)=f(a)\cdot f(b). Aqui \cdot é o produto do anel. Isso garante que f respeita a multiplicação.
Observação sobre unidade: alguns autores exigem também f(1_A)=1_{A'} para homomorfismos de anéis unitários; outros não. Vou verificar também se f preserva a unidade (1,1) do anel A.
Vou testar diretamente as duas propriedades para quaisquer elementos genéricos (x_1,y_1),(x_2,y_2)\in A.

Passo 3

Verificação da propriedade aditiva (passo a passo e com explicação do que estou fazendo).
Tomemos (x_1,y_1),(x_2,y_2)\in A. Primeiro calculo a soma e aplico f:
f\big((x_1,y_1)+(x_2,y_2)\big)=f\big(x_1+x_2,\;y_1+y_2\big).
Pela definição de f (troca de coordenadas), isso é
f\big(x_1+x_2,\;y_1+y_2\big)=\big(y_1+y_2,\;x_1+x_2\big).
Agora calculo f separado em cada elemento e então somo:
f(x_1,y_1)+f(x_2,y_2)=(y_1,x_1)+(y_2,x_2).
Usando a soma coordenada a coordenada:
(y_1,x_1)+(y_2,x_2)=(y_1+y_2,\;x_1+x_2).
As duas expressões coincidem:
f\big((x_1,y_1)+(x_2,y_2)\big)=(y_1+y_2,\;x_1+x_2)=f(x_1,y_1)+f(x_2,y_2).
Portanto f preserva a soma para quaisquer elementos — concluímos que f é um homomorfismo do grupo aditivo.

Passo 4

Verificação da propriedade multiplicativa (com explicações).
Tomemos novamente (x_1,y_1),(x_2,y_2)\in A. Primeiro calculo o produto e aplico f:
f\big((x_1,y_1)\cdot(x_2,y_2)\big)=f\big(x_1x_2,\;y_1y_2\big).
Aplicando a definição de f:
f\big(x_1x_2,\;y_1y_2\big)=\big(y_1y_2,\;x_1x_2\big).
Agora calculo f(x_1,y_1) e f(x_2,y_2) e depois o produto:
f(x_1,y_1)\cdot f(x_2,y_2)=(y_1,x_1)\cdot(y_2,x_2).
Usando o produto coordenada a coordenada do anel A:
(y_1,x_1)\cdot(y_2,x_2)=(y_1y_2,\;x_1x_2).
Novamente as duas expressões coincidem:
f\big((x_1,y_1)\cdot(x_2,y_2)\big)=(y_1y_2,\;x_1x_2)=f(x_1,y_1)\cdot f(x_2,y_2).
Portanto f preserva a multiplicação para quaisquer elementos — concluímos que f é um homomorfismo multiplicativo também.

Passo 5

Verificação da preservação da identidade multiplicativa (explicando a importância).
O anel A=\mathbb{Z}\times\mathbb{Z} tem identidade multiplicativa (1,1) porque (1,1)\cdot(x,y)=(1\cdot x,1\cdot y)=(x,y) para todo (x,y). Calculo
f(1,1)=(1,1),
pois f apenas troca coordenadas e aqui as duas coordenadas são iguais. Assim f preserva a unidade multiplicativa. Isso mostra que, se o professor exigir homomorfismo de anéis unitário, f satisfaz também essa propriedade.

Passo 6

Comentário sobre bijetividade e inversa (útil para saber que tipo de homomorfismo é).
A aplicação f é sua própria inversa, porque aplicar a troca de coordenadas duas vezes retorna ao par inicial:
f\big(f(x,y)\big)=f(y,x)=(x,y).
Isso mostra que f\circ f=\mathrm{id}_A, então f é bijetiva (injetiva e sobrejetiva). Como é bijetiva e preserva soma e produto, f é um automorfismo de anéis (um isomorfismo de A consigo mesmo).

Passo 7

Exemplo numérico rápido para fixar a ideia (valores concretos como checagem).
Tomemos (x_1,y_1)=(2,3) e (x_2,y_2)=(4,5).
  • Soma: (2,3)+(4,5)=(6,8). Aplicando f: f(6,8)=(8,6).
    Por outro lado f(2,3)+(4,5) = (3,2)+(5,4)=(8,6). Confere.
  • Produto: (2,3)\cdot(4,5)=(8,15). Aplicando f: f(8,15)=(15,8).
    Por outro lado f(2,3)\cdot f(4,5)=(3,2)\cdot(5,4)=(15,8). Confere.
Esses cálculos concretos ilustram as verificações gerais anteriores.

Resposta

Sim. f é um homomorfismo de anéis (além disso, f preserva a unidade (1,1) e é bijetiva, logo é um automorfismo de anéis).

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