(20pts) 2) Seja
. Verifique se
definida por
é um homomorfismo 10 de anéis.
Passo 1
O enunciado dá o anel
e a aplicação
definida por
. A tarefa é verificar se
é um homomorfismo de anéis. Para ficar bem claro, as perguntas que vou responder são:
-
preserva a soma? Ou seja, vale para todos ? -
preserva o produto? Ou seja, vale para todos ? - (Opcional, mas importante)
preserva a unidade multiplicativa ? -
é bijetiva (o que mostraria que é um automorfismo de anéis)?
Informações relevantes fornecidas:
- Os elementos de
são pares com . - A soma em
é feita coordenada a coordenada: . - O produto em
é também coordenada a coordenada (produto direto de anéis): . - A função
troca as coordenadas: .
Passo 2
Definição usada (explicada didaticamente): dizer que
é um homomorfismo de anéis significa, no sentido usual, que para todos
valem duas propriedades:
-
. Aqui a operação é a adição do anel. Isso garante que é um homomorfismo de grupos abelianos entre os grupos aditivos subjacentes. -
. Aqui é o produto do anel. Isso garante que respeita a multiplicação.
Observação sobre unidade: alguns autores exigem também
para homomorfismos de anéis unitários; outros não. Vou verificar também se
preserva a unidade
do anel
.
Vou testar diretamente as duas propriedades para quaisquer elementos genéricos
.
Passo 3
Verificação da propriedade aditiva (passo a passo e com explicação do que estou fazendo).
Tomemos
. Primeiro calculo a soma e aplico
:
Pela definição de
(troca de coordenadas), isso é
Agora calculo
separado em cada elemento e então somo:
Usando a soma coordenada a coordenada:
As duas expressões coincidem:
Portanto
preserva a soma para quaisquer elementos — concluímos que
é um homomorfismo do grupo aditivo.
Passo 4
Verificação da propriedade multiplicativa (com explicações).
Tomemos novamente
. Primeiro calculo o produto e aplico
:
Aplicando a definição de
:
Agora calculo
e
e depois o produto:
Usando o produto coordenada a coordenada do anel
:
Novamente as duas expressões coincidem:
Portanto
preserva a multiplicação para quaisquer elementos — concluímos que
é um homomorfismo multiplicativo também.
Passo 5
Verificação da preservação da identidade multiplicativa (explicando a importância).
O anel
tem identidade multiplicativa
porque
para todo
. Calculo
pois
apenas troca coordenadas e aqui as duas coordenadas são iguais. Assim
preserva a unidade multiplicativa. Isso mostra que, se o professor exigir homomorfismo de anéis unitário,
satisfaz também essa propriedade.
Passo 6
Comentário sobre bijetividade e inversa (útil para saber que tipo de homomorfismo é).
A aplicação
é sua própria inversa, porque aplicar a troca de coordenadas duas vezes retorna ao par inicial:
Isso mostra que
, então
é bijetiva (injetiva e sobrejetiva). Como é bijetiva e preserva soma e produto,
é um automorfismo de anéis (um isomorfismo de
consigo mesmo).
Passo 7
Exemplo numérico rápido para fixar a ideia (valores concretos como checagem).
Tomemos
e
.
- Soma:
. Aplicando : .
Por outro lado. Confere. - Produto:
. Aplicando : .
Por outro lado. Confere.
Esses cálculos concretos ilustram as verificações gerais anteriores.
Resposta
Sim.
é um homomorfismo de anéis (além disso,
preserva a unidade
e é bijetiva, logo é um automorfismo de anéis).