Diga quais das seguintes forças são conservativas:
(
(b)
)F_{\rho}=a \rho^{2} \cos \varphi
F_{\varphi}=a \rho^{2} \operatorname{sen} \varphi
F_{z}=2 a z^{2}(
\
)
| (b) | )F_{\rho}=a \rho^{2} \cos \varphi F_{\varphi}=a \rho^{2} \operatorname{sen} \varphi F_{z}=2 a z^{2}( |
| \ |
Passo 1
O enunciado dá um campo de forças em coordenadas cilíndricas com componentes (vou escrever exatamente o que foi dado):
onde
é uma constante. A pergunta é: essa força é conservativa?
Passo 2
Qual é o critério prático que vou usar? Para um campo de vetor
definido num domínio simplesmente conexo de
, ele é conservativo se, e só se, o rotacional de
(curl
) for o vetor nulo em todo o domínio. Vou então calcular o rotacional em coordenadas cilíndricas e ver se dá zero.
Passo 3
A fórmula do rotacional em coordenadas cilíndricas para um campo
é (componentes em
):
Explico rápido o que cada coisa significa:
são as coordenadas cilíndricas (distância radial, ângulo e altura); as derivadas parciais são tomadas mantendo as outras coordenadas fixas;
aparece por causa do fator métrico das coordenadas cilíndricas.
Passo 4
Agora calculo as derivadas parciais necessárias (todas as contas passo a passo).
-
porque não depende de . -
porque não depende de . -
porque não depende de . -
porque não depende de . -
Calculo
. Primeiro . Então
- Calculo
Passo 5
Substituo essas derivadas nas fórmulas do rotacional:
- Para a componente
:
- Para a componente
:
- Para a componente
:
Portanto
em componentes cilíndricas.
Passo 6
Interpretação: o rotacional não é o vetor zero em geral — a componente
vale
, que é não nula para
e para pontos com
e
. O campo está bem definido em todo
(em particular em
as componentes são finitas), então o domínio é simplesmente conexo. Pelo critério do rotacional, como
em geral, o campo não é conservativo.
A única exceção trivial é
, caso em que
e aí sim é conservativo (potencial constante).
Resposta
A força não é conservativa, salvo no caso trivial
.