Diga quais das seguintes forças são conservativas:
(
(b) )F_{\rho}=a \rho^{2} \cos \varphi &F_{\varphi}=a \rho^{2} \operatorname{sen} \varphi &F_{z}=2 a z^{2}(
\
)

Passo 1

O enunciado dá um campo de forças em coordenadas cilíndricas com componentes (vou escrever exatamente o que foi dado):
F_{\rho}=a\,\rho^{2}\cos\varphi,\qquad F_{\varphi}=a\,\rho^{2}\sin\varphi,\qquad F_{z}=2a\,z^{2},
onde a é uma constante. A pergunta é: essa força é conservativa?

Passo 2

Qual é o critério prático que vou usar? Para um campo de vetor \mathbf{F} definido num domínio simplesmente conexo de \mathbb{R}^3, ele é conservativo se, e só se, o rotacional de \mathbf{F} (curl \mathbf{F}) for o vetor nulo em todo o domínio. Vou então calcular o rotacional em coordenadas cilíndricas e ver se dá zero.

Passo 3

A fórmula do rotacional em coordenadas cilíndricas para um campo
\mathbf{F}=F_{\rho}\,\hat{e}_{\rho}+F_{\varphi}\,\hat{e}_{\varphi}+F_{z}\,\hat{e}_{z}
é (componentes em \hat{e}_{\rho},\hat{e}_{\varphi},\hat{e}_{z}):
(\nabla\times\mathbf{F})_{\rho}=\frac{1}{\rho}\,\frac{\partial F_{z}}{\partial\varphi}-\frac{\partial F_{\varphi}}{\partial z},
(\nabla\times\mathbf{F})_{\varphi}=\frac{\partial F_{\rho}}{\partial z}-\frac{\partial F_{z}}{\partial\rho},
(\nabla\times\mathbf{F})_{z}=\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial(\rho F_{\varphi})}{\partial\rho}-\frac{\partial F_{\rho}}{\partial\varphi}\right).
Explico rápido o que cada coisa significa: \rho,\varphi,z são as coordenadas cilíndricas (distância radial, ângulo e altura); as derivadas parciais são tomadas mantendo as outras coordenadas fixas; \rho F_{\varphi} aparece por causa do fator métrico das coordenadas cilíndricas.

Passo 4

Agora calculo as derivadas parciais necessárias (todas as contas passo a passo).
  1. \displaystyle \frac{\partial F_{z}}{\partial\varphi}=\frac{\partial(2a z^{2})}{\partial\varphi}=0 porque F_{z} não depende de \varphi.
  2. \displaystyle \frac{\partial F_{\varphi}}{\partial z}=\frac{\partial(a\rho^{2}\sin\varphi)}{\partial z}=0 porque F_{\varphi} não depende de z.
  3. \displaystyle \frac{\partial F_{\rho}}{\partial z}=\frac{\partial(a\rho^{2}\cos\varphi)}{\partial z}=0 porque F_{\rho} não depende de z.
  4. \displaystyle \frac{\partial F_{z}}{\partial\rho}=\frac{\partial(2a z^{2})}{\partial\rho}=0 porque F_{z} não depende de \rho.
  5. Calculo \displaystyle \frac{\partial(\rho F_{\varphi})}{\partial\rho}. Primeiro \rho F_{\varphi}=\rho\cdot a\rho^{2}\sin\varphi=a\rho^{3}\sin\varphi. Então
\frac{\partial(\rho F_{\varphi})}{\partial\rho}=a\cdot 3\rho^{2}\sin\varphi=3a\rho^{2}\sin\varphi.
  1. Calculo \displaystyle \frac{\partial F_{\rho}}{\partial\varphi}=\frac{\partial(a\rho^{2}\cos\varphi)}{\partial\varphi}=a\rho^{2}\cdot(-\sin\varphi)=-a\rho^{2}\sin\varphi.

Passo 5

Substituo essas derivadas nas fórmulas do rotacional:
  • Para a componente \rho:
(\nabla\times\mathbf{F})_{\rho}=\frac{1}{\rho}\cdot 0 - 0 = 0.
  • Para a componente \varphi:
(\nabla\times\mathbf{F})_{\varphi}=0-0=0.
  • Para a componente z:
(\nabla\times\mathbf{F})_{z}=\frac{1}{\rho}\Big(3a\rho^{2}\sin\varphi - (-a\rho^{2}\sin\varphi)\Big) =\frac{1}{\rho}\big(4a\rho^{2}\sin\varphi\big)=4a\rho\sin\varphi.
Portanto
\nabla\times\mathbf{F}=(0,\,0,\,4a\rho\sin\varphi),
em componentes cilíndricas.

Passo 6

Interpretação: o rotacional não é o vetor zero em geral — a componente z vale 4a\rho\sin\varphi, que é não nula para a\neq 0 e para pontos com \rho\neq 0 e \sin\varphi\neq 0. O campo está bem definido em todo \mathbb{R}^3 (em particular em \rho=0 as componentes são finitas), então o domínio é simplesmente conexo. Pelo critério do rotacional, como \nabla\times\mathbf{F}\neq\mathbf{0} em geral, o campo não é conservativo.
A única exceção trivial é a=0, caso em que \mathbf{F}\equiv\mathbf{0} e aí sim é conservativo (potencial constante).

Resposta

A força não é conservativa, salvo no caso trivial a=0.

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