1. Determine a aproximação linear da função f(x, y, z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} em (3, 2, 6) e use-a para aproximar o número \sqrt{(3,02)^{2}+(1,97)^{2}+(5,99)^{2}}.
  2. A altura h de ondas em mar aberto depende da velocidade do vento v e do tempo t durante o qual o vento se manteve naquela intensidade. Os valores da função h=f(v, t) são apresentados na seguinte tabela. Use a tabela para determinar uma aproximação linear da função altura da onda quando v está próximo de 80 \mathrm{~km} / \mathrm{h} e t está próximo de 20 horas. Em seguida, estime a altura das ondas quando está ventando por 24 horas a 84 \mathrm{~km} / \mathrm{h}.
\begin{table}
\captionsetup{labelformat=empty}
Velocidade do vento (km/h)
t
v
5 10 15 20 30 40 50
40 1,5 2,2 2,4 2,5 2,7 2,8 2,8
60 2,8 4,0 4,9 5,2 5,5 5,8 5,9
80 4,3 6,4 7,7 8,6 9,5 10,1 10,2
100 5,8 8,9 11,0 12,2 13,8 14,7 15,3
120 7,4 11,3 14,4 16,6 19,0 20,5 21,1

Passo 1

Vou listar com clareza o que cada item pede e quais dados o enunciado nos dá.
  • Questão 21:
    • Função: f(x,y,z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
    • Ponto onde linearizar: (3,2,6).
    • Pedido: determinar a aproximação linear de f em (3,2,6) e usar essa aproximação para estimar \sqrt{(3,02)^{2}+(1,97)^{2}+(5,99)^{2}}.
    • Dados relevantes: as coordenadas do ponto de expansão e os valores numéricos a aproximar.
  • Questão 22:
    • Função altura h=f(v,t) dependente de velocidade do vento v e tempo t.
    • A tabela fornece valores de f(v,t) para várias combinações de v e t.
    • Pedido: usar a tabela para determinar uma aproximação linear de h quando v está próximo de 80 e t próximo de 20; em seguida estimar h em v=84 e t=24.
    • Observação: os valores que vou usar vêm da tabela fornecida (por exemplo, f(80,20)=8,6, f(60,20)=5,2, f(100,20)=12,2, f(80,15)=7,7, f(80,30)=9,5). Vou declarar explicitamente quando eu pegar um número da tabela.

Passo 2

(Questão 21) Entendimento da técnica: linearização em multivariáveis (primeira ordem / aproximação de Taylor).
  • Ideia: para uma função de três variáveis f(x,y,z) suave, a aproximação linear (linearização) de f em torno do ponto (a,b,c) é
L(x,y,z)=f(a,b,c)+f_x(a,b,c)\,(x-a)+f_y(a,b,c)\,(y-b)+f_z(a,b,c)\,(z-c),
onde f_x,f_y,f_z são as derivadas parciais avaliadas em (a,b,c).
  • Significado: f_x(a,b,c) é a taxa de variação de f em relação a x mantendo y,z fixos; similar para f_y e f_z.
  • Vamos aplicar isso em f(x,y,z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} no ponto (3,2,6).

Passo 3

(Questão 21) Cálculo das derivadas parciais e da linearização.
  • Primeiro calcule o valor da função no ponto:
f(3,2,6)=\sqrt{3^{2}+2^{2}+6^{2}}=\sqrt{9+4+36}=\sqrt{49}=7.
  • Derivadas parciais gerais: para r(x,y,z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} pode-se escrever r=(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{1/2}. Então, por diferenciação:
f_x(x,y,z)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\qquad f_y(x,y,z)=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\qquad f_z(x,y,z)=\frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.
  • Avaliando em (3,2,6) (onde o denominador é 7):
f_x(3,2,6)=\frac{3}{7},\qquad f_y(3,2,6)=\frac{2}{7},\qquad f_z(3,2,6)=\frac{6}{7}.
  • Portanto a aproximação linear em (3,2,6) é
L(x,y,z)=7+\frac{3}{7}(x-3)+\frac{2}{7}(y-2)+\frac{6}{7}(z-6).
(Explicação curta: cada coeficiente é a “inclinação” de f na direção da variável correspondente no ponto de expansão.)

Passo 4

(Questão 21) Usar L para aproximar \sqrt{(3,02)^{2}+(1,97)^{2}+(5,99)^{2}}.
  • Identificar os incrementos:
x=3,02\Rightarrow x-3=0,02,\qquad y=1,97\Rightarrow y-2=-0,03,\qquad z=5,99\Rightarrow z-6=-0,01.
  • Substituir em L:
L(3,02,1,97,5,99)=7+\frac{3}{7}\cdot0,02+\frac{2}{7}\cdot(-0,03)+\frac{6}{7}\cdot(-0,01).
  • Calcular cada termo com cuidado (usar frações exatas para não acumular erro):
\frac{3}{7}\cdot0,02=\frac{3}{7}\cdot\frac{2}{100}=\frac{3}{350}=0,008571428\ldots
\frac{2}{7}\cdot(-0,03)=-\frac{2}{7}\cdot\frac{3}{100}=-\frac{6}{700}=-\frac{3}{350}=-0,008571428\ldots
\frac{6}{7}\cdot(-0,01)=-\frac{6}{7}\cdot\frac{1}{100}=-\frac{6}{700}=-\frac{3}{350}=-0,008571428\ldots
  • Somando os incrementos:
0,008571428\ldots-0,008571428\ldots-0,008571428\ldots=-0,008571428\ldots
  • Logo
L(3,02,1,97,5,99)=7-0,008571428\ldots\approx6,991428571\ldots
  • Conclusão: a aproximação linear dá \sqrt{(3,02)^{2}+(1,97)^{2}+(5,99)^{2}}\approx6,99143 (arredondando).

Passo 5

(Questão 22) Estratégia para obter a aproximação linear a partir da tabela.
  • Queremos linearizar h=f(v,t) em torno do ponto (v_{0},t_{0})=(80,20).
  • Forma da linearização em duas variáveis:
L(v,t)=f(80,20)+f_v(80,20)\,(v-80)+f_t(80,20)\,(t-20).
  • Precisamos de f(80,20) e das derivadas parciais f_v(80,20) e f_t(80,20).
  • Como não temos fórmula analítica, vamos aproximar as derivadas parciais por diferenças finitas usando os valores da tabela. Vou explicitamente indicar os números que peguei da tabela.

Passo 6

(Questão 22) Obter f(80,20) e aproximar f_v(80,20).
  • Peguei da tabela: f(80,20)=8,6.
  • Para f_v(80,20) (derivada em relação a v), uso diferença central entre v=60 e v=100 mantendo t=20 (diferença central é mais precisa que a progressiva):
    • Da tabela: f(60,20)=5,2 e f(100,20)=12,2.
  • Diferença central:
f_v(80,20)\approx\frac{f(100,20)-f(60,20)}{100-60}=\frac{12,2-5,2}{40}=\frac{7,0}{40}=0,175.
  • Interpretação: para cada aumento de 1 km/h em v perto de 80, a altura aumenta cerca de 0,175 (unidades da tabela).

Passo 7

(Questão 22) Aproximar f_t(80,20) (derivada em relação a t).
  • Usarei diferença central em t entre t=15 e t=30 para v=80:
    • Da tabela: f(80,15)=7,7 e f(80,30)=9,5.
  • Diferença central:
f_t(80,20)\approx\frac{f(80,30)-f(80,15)}{30-15}=\frac{9,5-7,7}{15}=\frac{1,8}{15}=0,12.
  • Interpretação: cada hora adicional de vento (perto de 20 h) aumenta a altura em cerca de 0,12.

Passo 8

(Questão 22) Montar a aproximação linear e calcular o valor pedido.
  • A aproximação linear é:
L(v,t)=8,6+0,175\,(v-80)+0,12\,(t-20).
  • Agora estimar para v=84, t=24:
    • (v-80)=4, (t-20)=4.
  • Incremento previsto:
0,175\cdot4+0,12\cdot4=0,7+0,48=1,18.
  • Portanto a estimativa:
h\approx8,6+1,18=9,78.
  • Interpretação final: usando a aproximação linear obtida a partir da tabela, a altura estimada das ondas para v=84 km/h e t=24 h é aproximadamente 9,78 (mesma unidade usada na tabela).

Resposta

  1. L(x,y,z)=7+\dfrac{3}{7}(x-3)+\dfrac{2}{7}(y-2)+\dfrac{6}{7}(z-6). Aproximação \approx6,99143.
  2. L(v,t)=8,6+0,175\,(v-80)+0,12\,(t-20). Estimativa em (84,24): \approx9,78.

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