- Determine a aproximação linear da função
em (3, 2, 6) e use-a para aproximar o número
.
- A altura
de ondas em mar aberto depende da velocidade do vento
e do tempo
durante o qual o vento se manteve naquela intensidade. Os valores da função
são apresentados na seguinte tabela. Use a tabela para determinar uma aproximação linear da função altura da onda quando
está próximo de
e
está próximo de 20 horas. Em seguida, estime a altura das ondas quando está ventando por 24 horas a
.
\begin{table}
\captionsetup{labelformat=empty}
Velocidade do vento (km/h)
5
10
15
20
30
40
50
40
1,5
2,2
2,4
2,5
2,7
2,8
2,8
60
2,8
4,0
4,9
5,2
5,5
5,8
5,9
80
4,3
6,4
7,7
8,6
9,5
10,1
10,2
100
5,8
8,9
11,0
12,2
13,8
14,7
15,3
120
7,4
11,3
14,4
16,6
19,0
20,5
21,1
\captionsetup{labelformat=empty}
| Velocidade do vento (km/h) | 5 | 10 | 15 | 20 | 30 | 40 | 50 | |
| 40 | 1,5 | 2,2 | 2,4 | 2,5 | 2,7 | 2,8 | 2,8 | |
| 60 | 2,8 | 4,0 | 4,9 | 5,2 | 5,5 | 5,8 | 5,9 | |
| 80 | 4,3 | 6,4 | 7,7 | 8,6 | 9,5 | 10,1 | 10,2 | |
| 100 | 5,8 | 8,9 | 11,0 | 12,2 | 13,8 | 14,7 | 15,3 | |
| 120 | 7,4 | 11,3 | 14,4 | 16,6 | 19,0 | 20,5 | 21,1 |
Passo 1
Vou listar com clareza o que cada item pede e quais dados o enunciado nos dá.
-
Questão 21:
- Função:
. - Ponto onde linearizar:
. - Pedido: determinar a aproximação linear de
em e usar essa aproximação para estimar . - Dados relevantes: as coordenadas do ponto de expansão e os valores numéricos a aproximar.
- Função:
-
Questão 22:
- Função altura
dependente de velocidade do vento e tempo . - A tabela fornece valores de
para várias combinações de e . - Pedido: usar a tabela para determinar uma aproximação linear de
quando está próximo de e próximo de ; em seguida estimar em e . - Observação: os valores que vou usar vêm da tabela fornecida (por exemplo,
, , , , ). Vou declarar explicitamente quando eu pegar um número da tabela.
- Função altura
Passo 2
(Questão 21) Entendimento da técnica: linearização em multivariáveis (primeira ordem / aproximação de Taylor).
- Ideia: para uma função de três variáveis
suave, a aproximação linear (linearização) de em torno do ponto é
onde
são as derivadas parciais avaliadas em
.
- Significado:
é a taxa de variação de em relação a mantendo fixos; similar para e . - Vamos aplicar isso em
no ponto .
Passo 3
(Questão 21) Cálculo das derivadas parciais e da linearização.
- Primeiro calcule o valor da função no ponto:
- Derivadas parciais gerais: para
pode-se escrever . Então, por diferenciação:
- Avaliando em
(onde o denominador é ):
- Portanto a aproximação linear em
é
(Explicação curta: cada coeficiente é a “inclinação” de
na direção da variável correspondente no ponto de expansão.)
Passo 4
(Questão 21) Usar
para aproximar
.
- Identificar os incrementos:
- Substituir em
:
- Calcular cada termo com cuidado (usar frações exatas para não acumular erro):
- Somando os incrementos:
- Logo
- Conclusão: a aproximação linear dá
(arredondando).
Passo 5
(Questão 22) Estratégia para obter a aproximação linear a partir da tabela.
- Queremos linearizar
em torno do ponto . - Forma da linearização em duas variáveis:
- Precisamos de
e das derivadas parciais e . - Como não temos fórmula analítica, vamos aproximar as derivadas parciais por diferenças finitas usando os valores da tabela. Vou explicitamente indicar os números que peguei da tabela.
Passo 6
(Questão 22) Obter
e aproximar
.
- Peguei da tabela:
. - Para
(derivada em relação a ), uso diferença central entre e mantendo (diferença central é mais precisa que a progressiva): - Da tabela:
e .
- Da tabela:
- Diferença central:
- Interpretação: para cada aumento de
km/h em perto de , a altura aumenta cerca de (unidades da tabela).
Passo 7
(Questão 22) Aproximar
(derivada em relação a
).
- Usarei diferença central em
entre e para : - Da tabela:
e .
- Da tabela:
- Diferença central:
- Interpretação: cada hora adicional de vento (perto de 20 h) aumenta a altura em cerca de
.
Passo 8
(Questão 22) Montar a aproximação linear e calcular o valor pedido.
- A aproximação linear é:
- Agora estimar para
, : -
, .
-
- Incremento previsto:
- Portanto a estimativa:
- Interpretação final: usando a aproximação linear obtida a partir da tabela, a altura estimada das ondas para
km/h e h é aproximadamente (mesma unidade usada na tabela).
Resposta
-
. Aproximação . -
. Estimativa em : .