(20pts) 2) Sejam f(x)=\overline{2} x^{3}+\overline{5} x+\bar{a} e g(x)=x-\overline{2} dois polinômios de Z_{7}[x]. Determine \bar{a} para que a divisão de f(x) por g(x) seja exata, ou seja, tenha resto nulo.
Passo 1
O enunciado dá dois polinômios em \mathbb{Z}_7[x]:
f(x)=\overline{2}\,x^{3}+\overline{5}\,x+\bar{a},
g(x)=x-\overline{2}.
O que se pede: determinar \bar{a}\in\mathbb{Z}_7 tal que a divisão de f(x) por g(x) seja exata, ou seja, o resto da divisão seja \overline{0}.
Informações relevantes dadas:
Os coeficientes estão em \mathbb{Z}_7 (opera-se módulo 7).
O divisor é x-\overline{2}, que tem a forma x-c com c=\overline{2}.
Passo 2
Fato teórico (Teorema do Resto / Teorema do Fator), explicado de forma direta: se dividimos um polinômio f(x) por x-c em um corpo (aqui \mathbb{Z}_7 é um corpo), obtemos
f(x)=(x-c)\,q(x)+r,
onde r é um elemento constante de \mathbb{Z}_7. Substituindo x=c obtemos
f\text{(c)}=r.
Portanto, a divisão é exata (resto \overline{0}) se, e somente se, f\text{(c)}=\overline{0}. Em outras palavras, x-c divide f em \mathbb{Z}_7[x] exatamente quando f\text{(c)}=\overline{0}.
Passo 3
Aplicando o fato ao nosso caso: aqui c=\overline{2}. Assim precisamos de
f(\overline{2})=\overline{0}.
Vamos calcular f(\overline{2}) em \mathbb{Z}_7. Primeiro as potências: