(20pts) 2) Sejam f(x)=\overline{2} x^{3}+\overline{5} x+\bar{a} e g(x)=x-\overline{2} dois polinômios de Z_{7}[x]. Determine \bar{a} para que a divisão de f(x) por g(x) seja exata, ou seja, tenha resto nulo.

Passo 1

O enunciado dá dois polinômios em \mathbb{Z}_7[x]:
  • f(x)=\overline{2}\,x^{3}+\overline{5}\,x+\bar{a},
  • g(x)=x-\overline{2}.
O que se pede: determinar \bar{a}\in\mathbb{Z}_7 tal que a divisão de f(x) por g(x) seja exata, ou seja, o resto da divisão seja \overline{0}.
Informações relevantes dadas:
  • Os coeficientes estão em \mathbb{Z}_7 (opera-se módulo 7).
  • O divisor é x-\overline{2}, que tem a forma x-c com c=\overline{2}.

Passo 2

Fato teórico (Teorema do Resto / Teorema do Fator), explicado de forma direta: se dividimos um polinômio f(x) por x-c em um corpo (aqui \mathbb{Z}_7 é um corpo), obtemos
f(x)=(x-c)\,q(x)+r,
onde r é um elemento constante de \mathbb{Z}_7. Substituindo x=c obtemos
f\text{(c)}=r.
Portanto, a divisão é exata (resto \overline{0}) se, e somente se, f\text{(c)}=\overline{0}. Em outras palavras, x-c divide f em \mathbb{Z}_7[x] exatamente quando f\text{(c)}=\overline{0}.

Passo 3

Aplicando o fato ao nosso caso: aqui c=\overline{2}. Assim precisamos de
f(\overline{2})=\overline{0}.
Vamos calcular f(\overline{2}) em \mathbb{Z}_7. Primeiro as potências:
(\overline{2})^2=\overline{4},\qquad (\overline{2})^3=\overline{8}=\overline{1},
porque 8\equiv1\pmod{7}. Agora avalia-se cada termo:
\overline{2}\,(\overline{2})^3=\overline{2}\cdot\overline{1}=\overline{2},
\overline{5}\,(\overline{2})=\overline{10}=\overline{3},
então
f(\overline{2})=\overline{2}+\overline{3}+\bar{a}=\overline{5}+\bar{a}.

Passo 4

Impor f(\overline{2})=\overline{0} dá a equação em \mathbb{Z}_7:
\overline{5}+\bar{a}=\overline{0}.
Isolando \bar{a}:
\bar{a}=-\overline{5}=\overline{2},
pois \overline{5}+\overline{2}=\overline{7}=\overline{0} em \mathbb{Z}_7.

Passo 5

Verificação rápida: com \bar{a}=\overline{2},
f(\overline{2})=\overline{2}+\overline{3}+\overline{2}=\overline{7}=\overline{0},
confirmando que o resto é nulo e a divisão é exata.

Resposta

\bar{a}=\overline{2}

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