Determine o grau dos seguintes polinômios de
em cada um dos seguintes casos:
;
Passo 1
O enunciado pede para determinar o grau do polinômio dado. Informações fornecidas:
- O polinômio é
. - O anel de coeficientes é
(ou seja, coeficientes reais).
Pergunta explícita: Qual é o grau de
?
Passo 2
Definição e ideia principal (sem a qual a resolução não anda): o grau de um polinômio não-nulo é o maior expoente de
que aparece com coeficiente diferente de zero. Notas úteis:
- Se
e são polinômios não-nulos sobre um corpo (como ), então
Essa propriedade vale porque o coeficiente líder (coeficiente do maior grau) de
vezes o coeficiente líder de
é não nulo (em corpos não há divisores de zero).
- Se
é não-nulo e é inteiro positivo, então
porque o termo de maior grau de
vem de multiplicar
vezes o termo de maior grau de
.
Passo 3
Aplicando a definição às duas partes que compõem
: identificar o grau de cada fator antes de usar as propriedades acima.
O primeiro fator é
. Nele o maior expoente de
que aparece é
(o termo
tem coeficiente
, que é não nulo). Logo
Passo 4
O segundo fator é
. Nele o maior expoente de
que aparece é
(o termo
tem coeficiente
). Logo
Passo 5
Agora elevando cada fator às potências dadas, usando
.
Para o primeiro fator:
Uma observação concreta: o termo de maior grau em
vem de
(coeficiente
), confirmando grau
.
Passo 6
Para o segundo fator:
Concretamente, o termo de maior grau em
vem de
(coeficiente
), confirmando grau
.
Passo 7
Finalmente,
é o produto desses dois polinômios. Pelo fato de estarmos em
(corpo, sem divisores de zero), vale
Além disso, o termo de maior grau de
é o produto dos termos líderes de cada fator, ou seja
(coeficiente
), o que confirma que o grau é
.