Determine o grau dos seguintes polinômios de \mathrm{A}[\mathrm{x}] em cada um dos seguintes casos:
f=\left(2+x^{2}\right)^{3}(1+x)^{4}, A=\mathbb{R};

Passo 1

O enunciado pede para determinar o grau do polinômio dado. Informações fornecidas:
  • O polinômio é f=\left(2+x^{2}\right)^{3}(1+x)^{4}.
  • O anel de coeficientes é A=\mathbb{R} (ou seja, coeficientes reais).
Pergunta explícita: Qual é o grau de f?

Passo 2

Definição e ideia principal (sem a qual a resolução não anda): o grau de um polinômio não-nulo é o maior expoente de x que aparece com coeficiente diferente de zero. Notas úteis:
  • Se p(x) e q(x) são polinômios não-nulos sobre um corpo (como \mathbb{R}), então
\deg(p\cdot q)=\deg(p)+\deg(q).
Essa propriedade vale porque o coeficiente líder (coeficiente do maior grau) de p vezes o coeficiente líder de q é não nulo (em corpos não há divisores de zero).
  • Se p(x) é não-nulo e k é inteiro positivo, então
\deg\big(p(x)^{k}\big)=k\cdot\deg\big(p(x)\big),
porque o termo de maior grau de p(x)^{k} vem de multiplicar k vezes o termo de maior grau de p(x).

Passo 3

Aplicando a definição às duas partes que compõem f: identificar o grau de cada fator antes de usar as propriedades acima.
O primeiro fator é 2+x^{2}. Nele o maior expoente de x que aparece é 2 (o termo x^{2} tem coeficiente 1, que é não nulo). Logo
\deg(2+x^{2})=2.

Passo 4

O segundo fator é 1+x. Nele o maior expoente de x que aparece é 1 (o termo x tem coeficiente 1). Logo
\deg(1+x)=1.

Passo 5

Agora elevando cada fator às potências dadas, usando \deg(p^{k})=k\deg(p).
Para o primeiro fator:
\deg\big((2+x^{2})^{3}\big)=3\cdot\deg(2+x^{2})=3\cdot 2=6.
Uma observação concreta: o termo de maior grau em (2+x^{2})^{3} vem de (x^{2})^{3}=x^{6} (coeficiente 1), confirmando grau 6.

Passo 6

Para o segundo fator:
\deg\big((1+x)^{4}\big)=4\cdot\deg(1+x)=4\cdot 1=4.
Concretamente, o termo de maior grau em (1+x)^{4} vem de x^{4} (coeficiente 1), confirmando grau 4.

Passo 7

Finalmente, f é o produto desses dois polinômios. Pelo fato de estarmos em \mathbb{R}[x] (corpo, sem divisores de zero), vale
\deg(f)=\deg\big((2+x^{2})^{3}\big)+\deg\big((1+x)^{4}\big)=6+4=10.
Além disso, o termo de maior grau de f é o produto dos termos líderes de cada fator, ou seja x^{6}\cdot x^{4}=x^{10} (coeficiente 1), o que confirma que o grau é 10.

Resposta

\deg(f)=10

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