Determine o grau dos seguintes polinômios de \mathrm{A}[\mathrm{x}] em cada um dos seguintes casos: g=\left(\overline{2} x^{2}-\overline{2} x+\overline{1}\right)^{2}, A=\mathbb{Z}_{4};
no anel A[x] com A=\mathbb{Z}_{4}. Informações dadas e o que se quer:
O anel de coeficientes é \mathbb{Z}_{4} (os inteiros módulo 4).
O polinômio a ser considerado é o quadrado do trinômio \overline{2}x^{2}-\overline{2}x+\overline{1}.
A pergunta é: qual é o grau de g em \mathbb{Z}_{4}[x]? (Lembrete: grau de um polinômio é o maior expoente com coeficiente \emph{não nulo} em \mathbb{Z}_{4}.)
Passo 2
Relembrando uma fórmula útil (aqui ensino como expandir o quadrado de um polinômio quadrático): para um polinômio genérico a x^{2}+b x+c em qualquer anel,
Explico cada termo: a^{2}x^{4} vem de (ax^{2})^{2}; 2ab\,x^{3} vem de dois produtos ax^{2}\cdot bx; b^{2}x^{2} vem de (bx)^{2}; 2ac\,x^{2} vem de dois produtos ax^{2}\cdot c; 2bc\,x vem de dois produtos bx\cdot c; e c^{2} é o quadrado da constante.
Passo 3
Identifico os coeficientes no nosso caso (todos em \mathbb{Z}_{4}):
Ou seja, g é o polinômio constante \overline{1} em \mathbb{Z}_{4}[x].
Breve comentário didático e motivador: aqui aconteceu algo típico quando se trabalha sobre anéis que não são domínios (como \mathbb{Z}_{4}): coeficientes não-nulos podem multiplicar-se e virar zero (por 2\cdot2=\overline{0} em certo sentido), fazendo cair o grau do produto. Por isso é sempre importante verificar os coeficientes módulo 4.