Determine o grau dos seguintes polinômios de \mathrm{A}[\mathrm{x}] em cada um dos seguintes casos:
g=\left(\overline{2} x^{2}-\overline{2} x+\overline{1}\right)^{2}, A=\mathbb{Z}_{4};

Passo 1

O enunciado pede o grau do polinômio
g=\left(\overline{2}x^{2}-\overline{2}x+\overline{1}\right)^{2}
no anel A[x] com A=\mathbb{Z}_{4}. Informações dadas e o que se quer:
  • O anel de coeficientes é \mathbb{Z}_{4} (os inteiros módulo 4).
  • O polinômio a ser considerado é o quadrado do trinômio \overline{2}x^{2}-\overline{2}x+\overline{1}.
  • A pergunta é: qual é o grau de g em \mathbb{Z}_{4}[x]? (Lembrete: grau de um polinômio é o maior expoente com coeficiente \emph{não nulo} em \mathbb{Z}_{4}.)

Passo 2

Relembrando uma fórmula útil (aqui ensino como expandir o quadrado de um polinômio quadrático): para um polinômio genérico a x^{2}+b x+c em qualquer anel,
\left(ax^{2}+bx+c\right)^{2}=a^{2}x^{4}+2ab\,x^{3}+\bigl(2ac+b^{2}\bigr)x^{2}+2bc\,x+c^{2}.
Explico cada termo: a^{2}x^{4} vem de (ax^{2})^{2}; 2ab\,x^{3} vem de dois produtos ax^{2}\cdot bx; b^{2}x^{2} vem de (bx)^{2}; 2ac\,x^{2} vem de dois produtos ax^{2}\cdot c; 2bc\,x vem de dois produtos bx\cdot c; e c^{2} é o quadrado da constante.

Passo 3

Identifico os coeficientes no nosso caso (todos em \mathbb{Z}_{4}):
a=\overline{2},\qquad b=-\overline{2},\qquad c=\overline{1}.
No entanto, em \mathbb{Z}_{4} temos -\overline{2}=\overline{-2}=\overline{2} porque -2\equiv2\pmod{4}. Assim, de forma conveniente para os cálculos,
a=\overline{2},\qquad b=\overline{2},\qquad c=\overline{1}.

Passo 4

Calculo o coeficiente de x^{4}:
a^{2}=\overline{2}^{2}=\overline{4}=\overline{0}.
Ou seja, o termo em x^{4} some (é o elemento nulo de \mathbb{Z}_{4}).

Passo 5

Calculo o coeficiente de x^{3}:
2ab=2\cdot\overline{2}\cdot\overline{2}=\overline{2\cdot 2\cdot 2}=\overline{8}=\overline{0}.
Portanto o coeficiente de x^{3} também é \overline{0}.

Passo 6

Calculo o coeficiente de x^{2}, que é 2ac+b^{2}:
2ac=2\cdot\overline{2}\cdot\overline{1}=\overline{4}=\overline{0}, \qquad b^{2}=\overline{2}^{2}=\overline{4}=\overline{0}.
Somando em \mathbb{Z}_{4}:
2ac+b^{2}=\overline{0}+\overline{0}=\overline{0}.
Logo o coeficiente de x^{2} também é \overline{0}.

Passo 7

Calculo o coeficiente de x e a constante:
2bc=2\cdot\overline{2}\cdot\overline{1}=\overline{4}=\overline{0}, \qquad c^{2}=\overline{1}^{2}=\overline{1}.
Então o termo em x é \overline{0} e a parte constante é \overline{1}.

Passo 8

Juntando tudo, obtemos
g=\left(\overline{2}x^{2}-\overline{2}x+\overline{1}\right)^{2}=\overline{0}x^{4}+\overline{0}x^{3}+\overline{0}x^{2}+\overline{0}x+\overline{1}=\overline{1}.
Ou seja, g é o polinômio constante \overline{1} em \mathbb{Z}_{4}[x].
Breve comentário didático e motivador: aqui aconteceu algo típico quando se trabalha sobre anéis que não são domínios (como \mathbb{Z}_{4}): coeficientes não-nulos podem multiplicar-se e virar zero (por 2\cdot2=\overline{0} em certo sentido), fazendo cair o grau do produto. Por isso é sempre importante verificar os coeficientes módulo 4.

Resposta

\deg(g)=0

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