21.09 No caso de duas partículas eletricamente carregadas, usar a lei de Coulomb para relacionar o módulo da força eletrostática, que age sobre as partículas, à carga das partículas e a distância entre elas.

Passo 1

O enunciado pede: relacionar o módulo da força eletrostática que age entre duas partículas eletricamente carregadas com as cargas das partículas e a distância entre elas.
Informações que temos (estas são as variáveis que vamos usar):
  • duas cargas puntiformes q_{1} e q_{2};
  • distância entre elas r (medida em metros);
  • queremos o módulo da força eletrostática F (em newtons).

Passo 2

Enunciado da lei de Coulomb (forma prática para o módulo da força): a intensidade (módulo) da força eletrostática entre duas cargas puntiformes é proporcional ao produto dos módulos das cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas. Em fórmula:
F = k\,\dfrac{|q_{1}\,q_{2}|}{r^{2}}
Explicação das notações:
  • F é o módulo da força eletrostática (sempre não negativo);
  • q_{1} e q_{2} são as cargas elétricas (podem ser positivas ou negativas);
  • |q_{1}\,q_{2}| indica que, para o módulo, usamos o valor absoluto do produto das cargas (assim F fica positivo);
  • r é a distância entre as cargas;
  • k é a constante eletrostática no meio considerado (no vácuo).

Passo 3

Valor e significado da constante k. No vácuo:
k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}
onde \varepsilon_{0} é a permissividade elétrica do vácuo, com valor aproximado
\varepsilon_{0}\approx 8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
Assim, numericamente
k\approx 8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}.
Observação: em meios materiais k muda (aparece a constante dielétrica relativa), mas para a maioria dos exercícios básicos usamos o vácuo ou o ar e o valor acima.

Passo 4

Unidades e análise dimensional rápida (para você ver que a fórmula “fecha”):
  • unidades de q: coulomb (\mathrm{C});
  • unidades de r: metro (\mathrm{m});
  • unidades de k: \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}.
    Multiplicando k por |q_{1}q_{2}|/r^{2} dá newtons, que é unidade de força. Isso é útil na prova para checar erros de escala.

Passo 5

Sinal e direção (coisa prática para a prova): a fórmula acima dá o módulo F. A direção da força no espaço é ao longo da reta que une as cargas; o sentido depende do sinal das cargas:
  • se q_{1} e q_{2} tiverem o mesmo sinal (ambas positivas ou ambas negativas) a força é de repulsão (cada carga é empurrada para longe da outra);
  • se tiverem sinais opostos, a força é de atração (cada carga é puxada na direção da outra).
    Na prova, se pedirem o vetor força, usa-se \mathbf{F}_{12} = k\dfrac{q_{1}q_{2}}{r^{2}}\,\hat{\mathbf{r}}_{12} (aqui o produto q_{1}q_{2} mantém o sinal e \hat{\mathbf{r}}_{12} é o versor de 1 para 2). Mas como o enunciado pediu o módulo, usamos a forma com valor absoluto.

Passo 6

Como aplicar passo a passo (procedimento prático):
  1. Expresse q_{1} e q_{2} em coulombs e r em metros. Se forem microcoulombs, converta: 1\\ \mu\mathrm{C}=1\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
  2. Calcule |q_{1}q_{2}|.
  3. Calcule r^{2}.
  4. Calcule \dfrac{|q_{1}q_{2}|}{r^{2}}.
  5. Multiplique por k (ou por \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}). O resultado é F em newtons.
    Faça sempre checagem rápida de ordem de grandeza (potências de 10) para não errar zeros.

Passo 7

Exemplo numérico completo (para fixar; faça isso devagar na prova):
Se q_{1}=2{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C}, q_{2}=-3{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C} e r=5{,}0\times10^{-2}\\ \mathrm{m}, então:
  • |q_{1}q_{2}| = |2{,}0\times10^{-6}\times(-3{,}0\times10^{-6})| = 6{,}0\times10^{-12}\\ \mathrm{C^{2}};
  • r^{2} = (5{,}0\times10^{-2})^{2} = 25{,}0\times10^{-4} = 2{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{2}};
  • \dfrac{|q_{1}q_{2}|}{r^{2}} = \dfrac{6{,}0\times10^{-12}}{2{,}5\times10^{-3}} = 2{,}4\times10^{-9}\\ \mathrm{C^{2}/m^{2}};
  • multiplicando por k\approx 8{,}99\times10^{9}:
F \approx 8{,}99\times10^{9}\times 2{,}4\times10^{-9} = 21{,}576\\ \mathrm{N}\approx 21{,}6\\ \mathrm{N}.
Interpretação: como as cargas têm sinais opostos, a força é de atração; o módulo é aproximadamente 21{,}6\\ \mathrm{N}.

Resposta

F = k\,\dfrac{|q_{1}\,q_{2}|}{r^{2}} = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\,\dfrac{|q_{1}\,q_{2}|}{r^{2}}

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