21.14 Saber que a carga em excesso de uma casca esférica condutora se distribui uniformemente na superfície externa da casca.
Passo 1
O enunciado nos dá uma casca esférica condutora (raio externo
) que possui uma carga em excesso
. A pergunta implícita é: onde essa carga em excesso fica e como ela se distribui sobre a casca?
Informações/condições relevantes fornecidas:
Informações/condições relevantes fornecidas:
- A casca é condutora e está em equilíbrio eletrostático (nenhuma corrente permanente).
- Existe uma carga total em excesso
colocada no condutor (não foram dadas cargas internas presas no interior de cavidades, então assumimos nenhum outro corpo carregado dentro da casca).
O objetivo é mostrar que a carga em excesso se acumula na superfície externa e que a densidade superficial é uniforme, ou seja, independente da posição sobre a superfície.
Passo 2
Entender uma propriedade fundamental dos condutores em equilíbrio: o campo elétrico dentro do material condutor é nulo.
Por que isso vale? Em linguagem simples: num condutor existem cargas livres (elétrons, por exemplo). Se dentro do metal houvesse um campo elétrico , essas cargas livres sofreriam força
e se moveriam, o que contradiz o estado de equilíbrio eletrostático. Assim, em equilíbrio
Por que isso vale? Em linguagem simples: num condutor existem cargas livres (elétrons, por exemplo). Se dentro do metal houvesse um campo elétrico
Consequência prática imediata: o potencial elétrico é constante dentro do corpo do condutor (porque
e se
então
constante).
Passo 3
Mostrar que não pode haver carga volumétrica no interior do material condutor.
Use a forma integral da Lei de Gauss: para qualquer superfície fechada totalmente contida no volume do condutor vale
Use a forma integral da Lei de Gauss: para qualquer superfície fechada
onde
é a carga total contida em
. Mas dentro do metal
, então o fluxo é zero e segue que
para toda superfície fechada dentro do condutor. Portanto não há carga volumétrica no metal: qualquer carga extra não pode permanecer no volume, só pode aparecer na superfície (ou em superfícies de cavidades).
Passo 4
Aplicar a ideia à casca esférica oca: sem cargas internas no interior da cavidade, toda a carga em excesso
deve estar nas superfícies. Para uma casca oca simples (sem outras superfícies internas carregadas), a carga em excesso reside na superfície externa. Isso já mostra qualitativamente que a carga “vai para a superfície externa”.
Passo 5
Agora mostrar que essa carga na superfície externa é distribuída uniformemente (constante sobre a esfera). Use simetria e Gauss. Pela geometria esférica: não há direção preferencial — o conjunto condutor + distribuição total de carga é invariante por rotações em torno do centro. Assim, o campo elétrico fora da casca só pode depender da distância radial
ao centro e ser radial. Ou seja, para
espera-se
. Esse argumento é de simetria: rotações não mudam o problema, logo
não pode depender de ângulo.
Passo 6
Calcular o campo fora da casca com Gauss e obter a densidade superficial. Escolha uma superfície gaussiana esférica de raio
, concêntrica com a casca. Pela Lei de Gauss:
A carga encerrada
é a carga total em excesso
(pois toda ela está na casca). Logo
Isso mostra que o campo fora da casca é idêntico ao de uma carga pontual
colocada no centro.
Para relacionar com a densidade superficial
sobre a casca, use a condição de contorno para o componente normal do campo elétrico através de uma superfície com carga superficial:
onde
é o módulo do campo imediatamente fora da superfície e
o módulo imediatamente dentro. Como já vimos, dentro do condutor
. Tomando
em
obtém-se
Portanto
Passo 7
Interpretação e reforço didático (para a prova): o passo chave foi combinar duas ideias simples:
- em equilíbrio eletrostático o campo dentro do condutor é zero (as cargas livres se rearranjam até anular qualquer campo interno);
- a simetria esférica implica que o campo fora dependa apenas de
, permitindo usar Gauss facilmente.
Com isso obtém-se que toda a carga está na superfície externa e, por simetria, a densidade superficialé constante e igual a . Se você colocar e num problema de prova, basta aplicar essa fórmula para checar a resposta — e, se pedirem o campo em qualquer , usar fora e dentro.
Resposta
A carga em excesso acumula-se na superfície externa da casca e fica distribuída uniformemente; a densidade superficial é
.