21.14 Saber que a carga em excesso de uma casca esférica condutora se distribui uniformemente na superfície externa da casca.

Passo 1

O enunciado nos dá uma casca esférica condutora (raio externo R) que possui uma carga em excesso Q. A pergunta implícita é: onde essa carga em excesso fica e como ela se distribui sobre a casca?
Informações/condições relevantes fornecidas:
  • A casca é condutora e está em equilíbrio eletrostático (nenhuma corrente permanente).
  • Existe uma carga total em excesso Q colocada no condutor (não foram dadas cargas internas presas no interior de cavidades, então assumimos nenhum outro corpo carregado dentro da casca).
    O objetivo é mostrar que a carga em excesso se acumula na superfície externa e que a densidade superficial é uniforme, ou seja, independente da posição sobre a superfície.

Passo 2

Entender uma propriedade fundamental dos condutores em equilíbrio: o campo elétrico dentro do material condutor é nulo.
Por que isso vale? Em linguagem simples: num condutor existem cargas livres (elétrons, por exemplo). Se dentro do metal houvesse um campo elétrico \vec{E}\neq\vec{0}, essas cargas livres sofreriam força \vec{F}=q\vec{E} e se moveriam, o que contradiz o estado de equilíbrio eletrostático. Assim, em equilíbrio
\vec{E}_{\text{dentro do condutor}}=\vec{0}.
Consequência prática imediata: o potencial elétrico é constante dentro do corpo do condutor (porque \vec{E}=-\nabla V e se \vec{E}=\vec{0} então V= constante).

Passo 3

Mostrar que não pode haver carga volumétrica no interior do material condutor.
Use a forma integral da Lei de Gauss: para qualquer superfície fechada S totalmente contida no volume do condutor vale
\oint_{S}\vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\epsilon_0},
onde Q_{\text{int}} é a carga total contida em S. Mas dentro do metal \vec{E}=\vec{0}, então o fluxo é zero e segue que Q_{\text{int}}=0 para toda superfície fechada dentro do condutor. Portanto não há carga volumétrica no metal: qualquer carga extra não pode permanecer no volume, só pode aparecer na superfície (ou em superfícies de cavidades).

Passo 4

Aplicar a ideia à casca esférica oca: sem cargas internas no interior da cavidade, toda a carga em excesso Q deve estar nas superfícies. Para uma casca oca simples (sem outras superfícies internas carregadas), a carga em excesso reside na superfície externa. Isso já mostra qualitativamente que a carga “vai para a superfície externa”.

Passo 5

Agora mostrar que essa carga na superfície externa é distribuída uniformemente (constante sobre a esfera). Use simetria e Gauss. Pela geometria esférica: não há direção preferencial — o conjunto condutor + distribuição total de carga é invariante por rotações em torno do centro. Assim, o campo elétrico fora da casca só pode depender da distância radial r ao centro e ser radial. Ou seja, para r>R espera-se \vec{E}(r)=E(r)\,\hat{r}. Esse argumento é de simetria: rotações não mudam o problema, logo E não pode depender de ângulo.

Passo 6

Calcular o campo fora da casca com Gauss e obter a densidade superficial. Escolha uma superfície gaussiana esférica de raio r>R, concêntrica com a casca. Pela Lei de Gauss:
\oint_{S_r}\vec{E}\cdot d\vec{A}=E(r)\cdot 4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_0}.
A carga encerrada Q_{\text{enc}} é a carga total em excesso Q (pois toda ela está na casca). Logo
E(r)=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0\,r^{2}}\qquad (r>R).
Isso mostra que o campo fora da casca é idêntico ao de uma carga pontual Q colocada no centro.
Para relacionar com a densidade superficial \sigma sobre a casca, use a condição de contorno para o componente normal do campo elétrico através de uma superfície com carga superficial:
E_{\text{out}}-E_{\text{in}}=\frac{\sigma}{\epsilon_0},
onde E_{\text{out}} é o módulo do campo imediatamente fora da superfície e E_{\text{in}} o módulo imediatamente dentro. Como já vimos, dentro do condutor E_{\text{in}}=0. Tomando r\to R^{+} em E(r) obtém-se
E_{\text{out}}=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0\,R^{2}}.
Portanto
\frac{Q}{4\pi\epsilon_0\,R^{2}}-0=\frac{\sigma}{\epsilon_0}\quad\Rightarrow\quad \sigma=\frac{Q}{4\pi R^{2}}.

Passo 7

Interpretação e reforço didático (para a prova): o passo chave foi combinar duas ideias simples:
  • em equilíbrio eletrostático o campo dentro do condutor é zero (as cargas livres se rearranjam até anular qualquer campo interno);
  • a simetria esférica implica que o campo fora dependa apenas de r, permitindo usar Gauss facilmente.
    Com isso obtém-se que toda a carga está na superfície externa e, por simetria, a densidade superficial \sigma é constante e igual a \dfrac{Q}{4\pi R^{2}}. Se você colocar Q e R num problema de prova, basta aplicar essa fórmula para checar a resposta — e, se pedirem o campo em qualquer r, usar E(r)=\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^{2}} fora e E=0 dentro.

Resposta

A carga em excesso acumula-se na superfície externa da casca e fica distribuída uniformemente; a densidade superficial é \sigma=\dfrac{Q}{4\pi R^{2}}.

Exercícios relacionados