Um metal possui densidade de elétrons livres
Um campo elétrico uniforme
é aplicado. Sabendo que o tempo médio entre colisões é
.
a) Calcule a velocidade de deriva dos elétrons.
b) Determine a densidade de corrente.
a) Calcule a velocidade de deriva dos elétrons.
b) Determine a densidade de corrente.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (vou listá‑los exatamente como estão):
- Densidade de elétrons livres:
. - Campo elétrico uniforme:
. - Tempo médio entre colisões:
.
O que se pede:
(a) Calcular a velocidade de deriva dos elétrons.
(b) Determinar a densidade de corrente.
(a) Calcular a velocidade de deriva dos elétrons.
(b) Determinar a densidade de corrente.
Passo 2
Explicando a ideia física (passo a passo, sem pressa):
- No modelo de Drude (modelo clássico simples para elétrons em metais) cada elétron sofre, entre colisões, a ação da força elétrica
. Para o elétron , onde é o módulo da carga do elétron. - A aceleração média entre colisões é
, sendo a massa do elétron. - Como o elétron sofre colisões com tempo médio
, a velocidade média adquirida (velocidade de deriva média) entre colisões é aproximadamente . Isso dá a fórmula básica usada em provas:
Aqui:
-
é o vetor velocidade de deriva dos elétrons (direção e sentido). -
é (módulo da carga do elétron). -
é . -
e foram dados no enunciado.
Observação importante sobre sinais e direção: como o elétron tem carga negativa,
aponta no sentido oposto ao campo
. Muitas vezes na prova pedem apenas o módulo da velocidade de deriva; eu vou dar o valor numérico do módulo e também indicar o sentido.
Passo 3
Cálculo numérico da velocidade de deriva (módulo). Primeiro calculemos o produto
:
Agora dividimos pela massa do elétron
:
Arredondando de forma prática para a prova:
E lembrando o sinal: o vetor
, isto é, os elétrons se movem no sentido oposto ao campo elétrico.
Passo 4
Agora a densidade de corrente. Definição e fórmula:
- A densidade de corrente vetorial é
, onde é a densidade de portadores, a carga de cada portador e a velocidade média desses portadores. - Para elétrons
e . Então
Note que, usando a expressão de
dada antes, isso resulta numa corrente no mesmo sentido do campo
(porque produto de dois sinais negativos dá positivo). Para o módulo da densidade de corrente usamos:
onde
é o módulo calculado no passo anterior.
Passo 5
Cálculo numérico da densidade de corrente (módulo). Primeiro calculamos
:
Multiplicando por
:
Arredondando para um valor prático:
E quanto ao sentido: a densidade de corrente vetorial
aponta no mesmo sentido do campo elétrico
(corrente convencional), pois os elétrons (negativos) movem‑se na direção oposta a
.
Resposta
(a)
(vetor apontando em sentido oposto a
).
(b) (vetor
apontando no mesmo sentido de
).
(b)