Um metal possui densidade de elétrons livres n=8,5 \times 10^{28} \mathrm{~m}^{-3} Um campo elétrico uniforme E=1,0 \mathrm{~V} \mathrm{~m}^{-1} é aplicado. Sabendo que o tempo médio entre colisões é \tau=2,5 \times 10^{-14} \mathrm{~s}.
a) Calcule a velocidade de deriva dos elétrons.
b) Determine a densidade de corrente.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listá‑los exatamente como estão):
  • Densidade de elétrons livres: n=8,5\times10^{28}\\ \mathrm{m^{-3}}.
  • Campo elétrico uniforme: E=1,0\\ \mathrm{V\,m^{-1}}.
  • Tempo médio entre colisões: \tau=2,5\times10^{-14}\\ \mathrm{s}.
O que se pede:
(a) Calcular a velocidade de deriva dos elétrons.
(b) Determinar a densidade de corrente.

Passo 2

Explicando a ideia física (passo a passo, sem pressa):
  • No modelo de Drude (modelo clássico simples para elétrons em metais) cada elétron sofre, entre colisões, a ação da força elétrica \mathbf{F}=q\mathbf{E}. Para o elétron q=-e, onde e é o módulo da carga do elétron.
  • A aceleração média entre colisões é \mathbf{a}=\dfrac{\mathbf{F}}{m_e}=\dfrac{-e\mathbf{E}}{m_e}, sendo m_e a massa do elétron.
  • Como o elétron sofre colisões com tempo médio \tau, a velocidade média adquirida (velocidade de deriva média) entre colisões é aproximadamente \mathbf{v}_{\text{d}}=\mathbf{a}\,\tau. Isso dá a fórmula básica usada em provas:
\mathbf{v}_{\text{d}}=-\dfrac{e\mathbf{E}\,\tau}{m_e}.
Aqui:
  • \mathbf{v}_{\text{d}} é o vetor velocidade de deriva dos elétrons (direção e sentido).
  • e é 1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{C} (módulo da carga do elétron).
  • m_e é 9,11\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}.
  • \tau e \mathbf{E} foram dados no enunciado.
Observação importante sobre sinais e direção: como o elétron tem carga negativa, \mathbf{v}_{\text{d}} aponta no sentido oposto ao campo \mathbf{E}. Muitas vezes na prova pedem apenas o módulo da velocidade de deriva; eu vou dar o valor numérico do módulo e também indicar o sentido.

Passo 3

Cálculo numérico da velocidade de deriva (módulo). Primeiro calculemos o produto eE\tau:
eE\tau = (1,602\times10^{-19})\cdot(1,0)\cdot(2,5\times10^{-14}) = 4,005\times10^{-33}.
Agora dividimos pela massa do elétron m_e=9,11\times10^{-31}:
v_{\text{d}}=\frac{eE\tau}{m_e}=\frac{4,005\times10^{-33}}{9,11\times10^{-31}}=4,396\times10^{-3}\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
Arredondando de forma prática para a prova:
v_{\text{d}}\approx 4,40\times10^{-3}\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
E lembrando o sinal: o vetor \mathbf{v}_{\text{d}} = -v_{\text{d}}\hat{E}, isto é, os elétrons se movem no sentido oposto ao campo elétrico.

Passo 4

Agora a densidade de corrente. Definição e fórmula:
  • A densidade de corrente vetorial é \mathbf{J}=n q \mathbf{v}, onde n é a densidade de portadores, q a carga de cada portador e \mathbf{v} a velocidade média desses portadores.
  • Para elétrons q=-e e \mathbf{v}=\mathbf{v}_{\text{d}}. Então
\mathbf{J}=n(-e)\mathbf{v}_{\text{d}}.
Note que, usando a expressão de \mathbf{v}_{\text{d}} dada antes, isso resulta numa corrente no mesmo sentido do campo \mathbf{E} (porque produto de dois sinais negativos dá positivo). Para o módulo da densidade de corrente usamos:
J = n e v_{\text{d}},
onde v_{\text{d}} é o módulo calculado no passo anterior.

Passo 5

Cálculo numérico da densidade de corrente (módulo). Primeiro calculamos n e:
n e = (8,5\times10^{28})\cdot(1,602\times10^{-19}) = 1,3617\times10^{10}\\ \mathrm{C\,m^{-3}}.
Multiplicando por v_{\text{d}}=4,396\times10^{-3}\\ \mathrm{m\,s^{-1}}:
J = n e v_{\text{d}} = 1,3617\times10^{10}\cdot4,396\times10^{-3} = 5,985\times10^{7}\\ \mathrm{A\,m^{-2}}.
Arredondando para um valor prático:
J\approx 6,0\times10^{7}\\ \mathrm{A\,m^{-2}}.
E quanto ao sentido: a densidade de corrente vetorial \mathbf{J} aponta no mesmo sentido do campo elétrico \mathbf{E} (corrente convencional), pois os elétrons (negativos) movem‑se na direção oposta a \mathbf{E}.

Resposta

(a) v_{\text{d}} \approx 4,40\times10^{-3}\\ \mathrm{m\,s^{-1}} (vetor apontando em sentido oposto a \mathbf{E}).
(b) J \approx 6,0\times10^{7}\\ \mathrm{A\,m^{-2}} (vetor \mathbf{J} apontando no mesmo sentido de \mathbf{E}).

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