A partir da velocidade térmica média dos elétrons em 300 K , determine o livre caminho médio, sabendo que o tempo de relação é
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pede o livre caminho médio (
) dos elétrons a partir da velocidade térmica média em e do tempo de relação (tempo entre colisões) . - Dados fornecidos: temperatura
e tempo de relação (valor escrito no enunciado).
Observação importante (sem pedir nada a você): o valor típico depara elétrons em condutores é da ordem de . Se o do enunciado estiver com sinal de potência trocado, o resultado físico muda muito. Vou calcular com o que você deu e também com o valor típico , e explico tudo passo a passo.
Passo 2
Como obter a velocidade térmica média dos elétrons: vou usar a velocidade quadrática média (root-mean-square), que é uma escolha comum para “velocidade térmica média” em gases/partículas:
onde:
-
é a constante de Boltzmann, ; -
é a temperatura em kelvin; -
é a massa do elétron, .
Essa fórmula vem da energia cinética média por grau de liberdade:. Aqui cada termo está explicado e em unidades SI, então o resultado vem em .
Passo 3
Cálculo numérico de
para
:
Portanto a velocidade térmica característica dos elétrons a
é
.
Passo 4
Relação entre livre caminho médio e tempo de relação: o livre caminho médio
é a distância média percorrida entre colisões; se o tempo médio entre colisões é
e a velocidade média é
, então
Aqui
pode ser tomado como
para uma estimativa da ordem de grandeza. Essa é uma relação direta e intuitiva: distância = velocidade × tempo.
Passo 5
Cálculo do livre caminho médio com o valor do enunciado
:
Comentário sobre plausibilidade: esse valor é absurdamente grande (maior que distâncias astronômicas) e fisicamente impossível para elétrons em um material comum — reforça a hipótese de que o expoente no
do enunciado está invertido.
Passo 6
Cálculo do livre caminho médio com o valor típico
(provavelmente o pretendido):
Interpretando:
, ou seja, da ordem de poucos nanômetros — esse é um valor físico razoável para elétrons em sólidos.
Resposta
Para
Para
(valor típico, provavelmente o correto):