A partir da velocidade térmica média dos elétrons em 300 K , determine o livre caminho médio, sabendo que o tempo de relação é \tau=1 \times 10^{14} \mathrm{~s}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede o livre caminho médio ( \lambda) dos elétrons a partir da velocidade térmica média em 300\\ \mathrm{K} e do tempo de relação (tempo entre colisões) \tau.
  • Dados fornecidos: temperatura T=300\\ \mathrm{K} e tempo de relação \tau=1\times10^{14}\\ \mathrm{s} (valor escrito no enunciado).
    Observação importante (sem pedir nada a você): o valor típico de \tau para elétrons em condutores é da ordem de 10^{-14}\\ \mathrm{s}. Se o \tau do enunciado estiver com sinal de potência trocado, o resultado físico muda muito. Vou calcular com o \tau que você deu e também com o valor típico \tau=1\times10^{-14}\\ \mathrm{s}, e explico tudo passo a passo.

Passo 2

Como obter a velocidade térmica média dos elétrons: vou usar a velocidade quadrática média (root-mean-square), que é uma escolha comum para “velocidade térmica média” em gases/partículas:
v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac{3kT}{m_e}},
onde:
  • k é a constante de Boltzmann, k=1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J\,K^{-1}};
  • T é a temperatura em kelvin;
  • m_e é a massa do elétron, m_e=9{,}10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}.
    Essa fórmula vem da energia cinética média por grau de liberdade: \tfrac{1}{2}m v_{\mathrm{rms}}^2=\tfrac{3}{2}kT. Aqui cada termo está explicado e em unidades SI, então o resultado vem em \mathrm{m/s}.

Passo 3

Cálculo numérico de v_{\mathrm{rms}} para T=300\\ \mathrm{K}:
3kT = 3 \times 1{,}380649\times10^{-23}\times300 = 1{,}2425841\times10^{-20}\\ \mathrm{J},
\frac{3kT}{m_e}=\frac{1{,}2425841\times10^{-20}}{9{,}10938356\times10^{-31}} \approx 1{,}3637\times10^{10}\\ \mathrm{(m/s)^2},
v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{1{,}3637\times10^{10}}\approx 1{,}17\times10^{5}\\ \mathrm{m/s}.
Portanto a velocidade térmica característica dos elétrons a 300\\ \mathrm{K} é \,v_{\mathrm{rms}}\approx 1{,}17\times10^{5}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Relação entre livre caminho médio e tempo de relação: o livre caminho médio \lambda é a distância média percorrida entre colisões; se o tempo médio entre colisões é \tau e a velocidade média é v, então
\lambda = v\,\tau.
Aqui v pode ser tomado como v_{\mathrm{rms}} para uma estimativa da ordem de grandeza. Essa é uma relação direta e intuitiva: distância = velocidade × tempo.

Passo 5

Cálculo do livre caminho médio com o valor do enunciado \tau=1\times10^{14}\\ \mathrm{s}:
\lambda = v_{\mathrm{rms}}\,\tau \approx (1{,}17\times10^{5}\\ \mathrm{m/s})\times(1\times10^{14}\\ \mathrm{s}) =1{,}17\times10^{19}\\ \mathrm{m}.
Comentário sobre plausibilidade: esse valor é absurdamente grande (maior que distâncias astronômicas) e fisicamente impossível para elétrons em um material comum — reforça a hipótese de que o expoente no \tau do enunciado está invertido.

Passo 6

Cálculo do livre caminho médio com o valor típico \tau=1\times10^{-14}\\ \mathrm{s} (provavelmente o pretendido):
\lambda = v_{\mathrm{rms}}\,\tau \approx (1{,}17\times10^{5}\\ \mathrm{m/s})\times(1\times10^{-14}\\ \mathrm{s}) =1{,}17\times10^{-9}\\ \mathrm{m}.
Interpretando: \lambda\approx 1{,}17\\ \mathrm{nm}, ou seja, da ordem de poucos nanômetros — esse é um valor físico razoável para elétrons em sólidos.

Resposta

Para \tau=1\times10^{14}\\ \mathrm{s}:\\ \lambda \approx 1{,}17\times10^{19}\\ \mathrm{m}
Para \tau=1\times10^{-14}\\ \mathrm{s} (valor típico, provavelmente o correto): \lambda \approx 1{,}17\times10^{-9}\\ \mathrm{m}

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