4.21) A 19^{\circ} \mathrm{C} a tensão superficial das soluções de ácido butírico em água é dada por:
\gamma=\gamma_{0}-a \cdot \ln (1+b C)
onde \gamma_{\circ} é a tensão superficial da água pura, \mathrm{a}=13,1 e \mathrm{b}=19,62 quando a tensão superficial
a)Deduza uma expressão que forneça a concentração superficial excedente em função da concentração do ácido.

Passo 1

O enunciado nos dá a tensão superficial em função da concentração do ácido butírico à 19^\circ\mathrm{C}:
\gamma=\gamma_{0}-a\cdot\ln(1+bC)
e informa os parâmetros \,a=13{,}1 e \,b=19{,}62. A pergunta pede: deduzir uma expressão que forneça a concentração superficial excedente (ou seja, a quantidade de soluto por unidade de área na interface) em função da concentração do ácido C.
Informações relevantes listadas:
  • Equação de \gamma\text{(C)} fornecida acima (peguei essa relação diretamente do enunciado).
  • Valores numéricos de a e b (fornecidos).
  • Temperatura: 19^\circ\mathrm{C} (que corresponde a T=292{,}15\\ \mathrm{K}) — útil se for necessário avaliar numericamente.
  • O que queremos: \Gamma (concentração superficial excedente) como função de C.

Passo 2

Apresentar a relação que liga \gamma e \Gamma: a equação de Gibbs para uma solução com um soluto não iônico, em condições ideais e aproximando atividade por concentração, é
\Gamma=-\frac{1}{R T}\left(\frac{\partial\gamma}{\partial\ln C}\right)_{T,P},
onde:
  • \Gamma é a concentração superficial excedente (mol por unidade de área, por exemplo \mathrm{mol}\,\mathrm{m}^{-2});
  • R é a constante dos gases ideais ( R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}});
  • T é a temperatura absoluta em kelvin;
  • \gamma é a tensão superficial;
  • C é a concentração do soluto na fase volumétrica (assume-se aqui atividade \approx concentração).
    Breve aula sobre por que essa fórmula: a equação de Gibbs relaciona a variação da energia livre superficial (representada por \gamma) com mudanças na composição da fase adjacente; ao variar a concentração do soluto, a mudança em \gamma permite calcular quantas mols do soluto se acumulam/dispersam na interface.

Passo 3

Calcular o derivado necessário \dfrac{\partial\gamma}{\partial\ln C} usando a regra da cadeia. Primeiro observo que
\frac{\partial\gamma}{\partial\ln C}=C\frac{d\gamma}{dC},
porque \dfrac{d}{d\ln C} = C\dfrac{d}{dC}.
Agora calculo d\gamma/dC a partir de \gamma=\gamma_{0}-a\ln(1+bC). Derivando em relação a C:
\frac{d\gamma}{dC} = -a\cdot\frac{b}{1+bC} = -\frac{ab}{1+bC}.
Multiplicando por C:
\frac{\partial\gamma}{\partial\ln C} = C\cdot\left(-\frac{ab}{1+bC}\right) = -\frac{ab\,C}{1+bC}.

Passo 4

Substituir esse resultado na equação de Gibbs:
\Gamma = -\frac{1}{R T}\left(-\frac{ab\,C}{1+bC}\right).
Os sinais negativos se cancelam, ficando
\Gamma\text{(C)}=\frac{ab\,C}{R T\,(1+bC)}.
Aqui cada símbolo significa:
  • a e b são os parâmetros fornecidos na lei experimental de \gamma;
  • C é a concentração do ácido (a variável);
  • R é a constante dos gases;
  • T é a temperatura absoluta.

Passo 5

Interpretações e comportamento limite (mini-aula prática):
  • Para concentrações pequenas \,C\ll 1/b, pode-se aproximar 1+bC\approx 1 e obter a dependência linear inicial
\Gamma\approx\frac{ab}{R T}\,C,
ou seja, \Gamma cresce linearmente com C perto de C=0.
  • Para concentrações muito grandes \,C\gg 1/b, \Gamma tende ao valor máximo
\Gamma_{\max}=\frac{a}{R T},
pois \dfrac{abC}{1+bC}\to a quando C\to\infty. Isso tem interpretação física: existe um limite de saturação de mols por área na interface.
  • Se for necessário um valor numérico, usar T=292{,}15\\ \mathrm{K} e a conversão de unidades adequada para a (por exemplo, se a estiver em \mathrm{mN\,m^{-1}} convertê-lo para \mathrm{N\,m^{-1}} antes de usar R em SI).

Resposta

\Gamma\text{(C)}=\frac{ab\,C}{R T\,(1+bC)}

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