4.21) A
a tensão superficial das soluções de ácido butírico em água é dada por:
onde
é a tensão superficial da água pura,
e
quando a tensão superficial
a)Deduza uma expressão que forneça a concentração superficial excedente em função da concentração do ácido.
Passo 1
O enunciado nos dá a tensão superficial em função da concentração do ácido butírico à
:
e informa os parâmetros
e
. A pergunta pede: deduzir uma expressão que forneça a concentração superficial excedente (ou seja, a quantidade de soluto por unidade de área na interface) em função da concentração do ácido
.
Informações relevantes listadas:
- Equação de
fornecida acima (peguei essa relação diretamente do enunciado). - Valores numéricos de
e (fornecidos). - Temperatura:
(que corresponde a ) — útil se for necessário avaliar numericamente. - O que queremos:
(concentração superficial excedente) como função de .
Passo 2
Apresentar a relação que liga
e
: a equação de Gibbs para uma solução com um soluto não iônico, em condições ideais e aproximando atividade por concentração, é
onde:
-
é a concentração superficial excedente (mol por unidade de área, por exemplo ); -
é a constante dos gases ideais ( ); -
é a temperatura absoluta em kelvin; -
é a tensão superficial; -
é a concentração do soluto na fase volumétrica (assume-se aqui atividade concentração).
Breve aula sobre por que essa fórmula: a equação de Gibbs relaciona a variação da energia livre superficial (representada por) com mudanças na composição da fase adjacente; ao variar a concentração do soluto, a mudança em permite calcular quantas mols do soluto se acumulam/dispersam na interface.
Passo 3
Calcular o derivado necessário
usando a regra da cadeia. Primeiro observo que
porque
.
Agora calculo
a partir de
. Derivando em relação a
:
Multiplicando por
:
Passo 4
Substituir esse resultado na equação de Gibbs:
Os sinais negativos se cancelam, ficando
Aqui cada símbolo significa:
-
e são os parâmetros fornecidos na lei experimental de ; -
é a concentração do ácido (a variável); -
é a constante dos gases; -
é a temperatura absoluta.
Passo 5
Interpretações e comportamento limite (mini-aula prática):
- Para concentrações pequenas
, pode-se aproximar e obter a dependência linear inicial
ou seja,
cresce linearmente com
perto de
.
- Para concentrações muito grandes
, tende ao valor máximo
pois
quando
. Isso tem interpretação física: existe um limite de saturação de mols por área na interface.
- Se for necessário um valor numérico, usar
e a conversão de unidades adequada para (por exemplo, se estiver em convertê-lo para antes de usar em SI).