4.21) A 19^{\circ} \mathrm{C} a tensão superficial das soluções de ácido butírico em água é dada por:
\gamma=\gamma_{0}-a \cdot \ln (1+b C)
onde \gamma_{\circ} é a tensão superficial da água pura, \mathrm{a}=13,1 e \mathrm{b}=19,62 quando a tensão superficial
b)Calcule a concentração superficial excedente de ácido butírico numa solucão contendo 0.20 \mathrm{~mol} . \mathrm{L}^{-1} \mathrm{de} ácido. \mathrm{R}: 4.30 \times 10^{-6} \mathrm{~mol} . \mathrm{m}^{-2}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei estes números do enunciado).
  • A relação entre tensão superficial \gamma e concentração C é
\gamma=\gamma_{0}-a\cdot\ln(1+bC).
  • Constantes fornecidas: a=13,1 e b=19,62.
  • Temperatura: 19^\circ\mathrm{C}.
  • Concentração da solução: C=0,20\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}.
  • O que se pede: calcular a concentração superficial excedente (excesso superficial) de ácido butírico, \Gamma, para essa solução.
    Observação: vou usar os dados tal como estão no enunciado; nas contas numéricas farei as conversões de unidades necessárias.

Passo 2

Apresentando a fórmula que vamos usar (Gibbs) e explicando cada termo de maneira simples:
  • A relação de Gibbs para uma única espécie solutal não iónica, à temperatura fixa, é
\Gamma = -\frac{1}{R T}\,\frac{d\gamma}{d\ln C}.
Explicação das variáveis:
  • \Gamma é a concentração superficial excedente (unidade \mathrm{mol\cdot m^{-2}}).
  • R é a constante dos gases ideais, R=8,314\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
  • T é a temperatura absoluta em kelvin.
  • \gamma é a tensão superficial (unidade \mathrm{N\cdot m^{-1}}).
  • C é a concentração do soluto no volume (aqui aproximada pela atividade).
    Observação didática curta: a derivada em relação a \ln C significa que podemos escrever \dfrac{d\gamma}{d\ln C}=C\,\dfrac{d\gamma}{dC}. Isso facilita o cálculo quando temos \gamma\text{(C)}.

Passo 3

Calcular explicitamente a derivada pedida a partir da lei dada.
  • Primeiro calculemos \dfrac{d\gamma}{dC} a partir de \gamma=\gamma_{0}-a\ln(1+bC). Como \dfrac{d}{dC}\ln(1+bC)=\dfrac{b}{1+bC}, temos
\frac{d\gamma}{dC} = -a\cdot\frac{b}{1+bC}.
  • Em seguida
\frac{d\gamma}{d\ln C} = C\cdot\frac{d\gamma}{dC} = -a\cdot\frac{b\,C}{1+bC}.
  • Substituindo na relação de Gibbs:
\Gamma = -\frac{1}{R T}\left(-a\cdot\frac{b\,C}{1+bC}\right) = \frac{a\,b\,C}{R T\,(1+bC)}.
Esta é a fórmula que vamos usar para calcular numericamente \Gamma. É bom entender: o sinal menos duplo cancelou e o resultado é positivo (esperamos excesso positivo se a tensão superficial diminui com aumento de C).

Passo 4

Conversões de unidades e valores numéricos a usar (explicando o porquê):
  • A constante a no enunciado está em \mathrm{mN\cdot m^{-1}} (presumivelmente), então convertemos para \mathrm{N\cdot m^{-1}}:
a = 13,1\\ \mathrm{mN\cdot m^{-1}} = 13,1\times10^{-3}\\ \mathrm{N\cdot m^{-1}}.
  • A constante b está em \mathrm{L\cdot mol^{-1}}; para compatibilidade com o SI convertemos para \mathrm{m^{3}\cdot mol^{-1}}:
b = 19,62\\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}} = 19,62\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}\cdot mol^{-1}} = 0,01962\\ \mathrm{m^{3}\cdot mol^{-1}}.
  • A concentração fornecida C=0,20\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}} em \mathrm{mol\cdot m^{-3}} fica
C = 0,20\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}} = 0,20\times10^{3}\\ \mathrm{mol\cdot m^{-3}} = 200\\ \mathrm{mol\cdot m^{-3}}.
  • Constante dos gases e temperatura (em SI):
R = 8,314\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}},\qquad T = 19^\circ\mathrm{C} = 19+273,15 = 292,15\\ \mathrm{K}.
Explicação rápida: é essencial converter a,b,C para unidades SI para que a divisão por R T (unidade \mathrm{J\cdot mol^{-1}}=\mathrm{N\cdot m\cdot mol^{-1}}) dê \Gamma em \mathrm{mol\cdot m^{-2}}.

Passo 5

Cálculo numérico com passos detalhados (sem pular contas):
  • Primeiro calcule bC:
bC = 0,01962\\ \mathrm{m^{3}\cdot mol^{-1}}\times 200\\ \mathrm{mol\cdot m^{-3}} = 3,924.
  • Então 1+bC = 1+3,924 = 4,924.
  • Calcule o numerador a\,b\,C:
a\,b\,C = (13,1\times10^{-3})\times(0,01962)\times 200.
Faço em etapas: 0,01962\times200 = 3,924. Depois 13,1\times10^{-3}\times3,924 = 0,0131\times3,924 = 0,0513744.
Logo
a\,b\,C = 0,0513744\\ \mathrm{N\cdot m^{-1}}.
  • Calcule o denominador R T(1+bC):
R T = 8,314\times292,15 = 2428,3\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}}.
R T(1+bC) = 2428,3\times4,924 = 11953,9\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}}.
  • Finalmente,
\Gamma = \frac{a\,b\,C}{R T(1+bC)} = \frac{0,0513744}{11953,9} = 4,298\times10^{-6}\\ \mathrm{mol\cdot m^{-2}}.
Arredondando com três algarismos significativos:
\Gamma \approx 4,30\times10^{-6}\\ \mathrm{mol\cdot m^{-2}}.

Passo 6

Resumo interpretativo curto e incentivo:
  • A expressão final que usamos foi
\Gamma = \frac{a\,b\,C}{R T(1+bC)},
obtida da aplicação da isoterma de Gibbs à lei dada para \gamma\text{(C)}. O valor numérico coincide com a resposta fornecida no enunciado. Boa! Você já dominou a técnica: a regra é derivar \gamma\text{(C)}, usar d\gamma/d\ln C e tomar cuidado com unidades. Vai na fé para a prova — você já sabe o passo a passo.

Resposta

\Gamma = 4,30\times10^{-6}\\ \mathrm{mol\cdot m^{-2}}

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