21.26 Uma partícula possui carga igual a -3,0 \mathrm{nC}. (a) Determine o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico produzido por essa partícula em um ponto situado a 0,250 \mathrm{~m} diretamente acima dela. (b) A que distância dessa partícula o campo elétrico possui módulo igual a 12,0 \mathrm{~N} / \mathrm{C} ?

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Carga da partícula: \displaystyle q = -3{,}0\\ \mathrm{nC}.
  • Ponto (a): localizado diretamente acima da carga a uma distância \displaystyle r = 0{,}250\\ \mathrm{m}.
  • Ponto (b): pedir a distância \displaystyle r para a qual o campo elétrico tem módulo \displaystyle E=12{,}0\\ \mathrm{N/C}.
As perguntas são:
(a) determine o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico no ponto a 0{,}250\\ \mathrm{m} acima da carga;
(b) determine a que distância da partícula o campo tem módulo 12{,}0\\ \mathrm{N/C}.
Dados úteis que usarei (constante eletrostática):
k = 8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}.

Passo 2

Fórmula que determina o campo elétrico produzido por uma carga pontual e explicação das variáveis.
Para uma carga pontual q localizada na origem, o campo elétrico em um ponto a distância r tem expressão vetorial
\mathbf{E}(\mathbf{r}) = k\,\frac{q}{r^{2}}\,\hat{r},
onde:
  • k é a constante eletrostática ( 8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}),
  • q é a carga (em coulombs),
  • r é a distância do ponto até a carga (em metros),
  • \hat{r} é o versor (vetor unitário) que aponta do lugar da carga para o ponto onde se calcula o campo.
O módulo (valor escalar) do campo é
E = k\,\frac{|q|}{r^{2}},
onde se usa |q| porque o módulo é sempre positivo. O sinal de q determina a direção/sentido do vetor: se q>0 o campo aponta para fora (longe da carga); se q<0 o campo aponta para dentro (em direção à carga).

Passo 3

Preparação de unidades e valores numéricos. Converter a carga de \mathrm{nC} para \mathrm{C}:
\displaystyle q = -3{,}0\\ \mathrm{nC} = -3{,}0\times10^{-9}\\ \mathrm{C}.
Para o item (a) temos \displaystyle r=0{,}250\\ \mathrm{m}. Vou calcular o módulo do campo pelo uso direto de
E = k\,\frac{|q|}{r^{2}}.

Passo 4

Cálculo numérico do módulo para (a). Primeiro calcule r^{2}:
r^{2} = (0{,}250)^{2} = 0{,}0625\\ \mathrm{m^{2}}.
Agora substituindo:
E = \frac{8{,}99\times10^{9}\times 3{,}0\times10^{-9}}{0{,}0625}.
Simplificando as potências de dez: 10^{9}\times10^{-9}=10^{0}=1, então numericamente é
E = \frac{8{,}99\times 3{,}0}{0{,}0625} = \frac{26{,}97}{0{,}0625}.
Como 1/0{,}0625 = 16, temos
E = 26{,}97\times16 = 431{,}52\\ \mathrm{N/C}.
Arredondando para três algarismos significativos:
E \approx 4{,}32\times10^{2}\\ \mathrm{N/C}.
(obs.: usando k\approx9{,}0\times10^{9} obtém-se E=432\\ \mathrm{N/C}, mesma ideia.)

Passo 5

Determinar a direção e o sentido do campo para (a). A carga é negativa ( q<0), portanto o campo elétrico aponta em direção à carga (linhas de campo entram na carga negativa). O ponto está diretamente acima da carga; então o vetor campo no ponto aponta verticalmente para baixo, ou seja, em direção ao centro da carga. Em notação de versor vertical:
\mathbf{E} = -E\,\hat{y}\quad\text{com}\quad E\approx 4{,}32\times10^{2}\\ \mathrm{N/C},
onde \hat{y} é o versor apontando para cima; o sinal negativo indica que o vetor aponta para baixo.

Passo 6

Resolução do item (b): achar r tal que E=12{,}0\\ \mathrm{N/C}. Usamos
E = k\,\frac{|q|}{r^{2}}\quad\Longrightarrow\quad r = \sqrt{\frac{k\,|q|}{E}}.
Substituindo os valores:
r = \sqrt{\frac{8{,}99\times10^{9}\times 3{,}0\times10^{-9}}{12{,}0}}.
Novamente 10^{9}\times10^{-9}=1, então dentro da raiz fica
\frac{8{,}99\times3{,}0}{12{,}0} = \frac{26{,}97}{12{,}0} = 2{,}2475.
Tomando a raiz quadrada:
r = \sqrt{2{,}2475}\approx 1{,}499\\ \mathrm{m}.
Arredondando a três dígitos significativos:
r \approx 1{,}50\\ \mathrm{m}.
(Usando k\approx9{,}0\times10^{9} daria exatamente \sqrt{27/12}=\sqrt{2{,}25}=1{,}50\\ \mathrm{m}.)

Resposta

(a) E \approx 4{,}32\times10^{2}\\ \mathrm{N/C}; direção vertical para baixo (vetor -\hat{y}).
(b) r \approx 1{,}50\\ \mathrm{m}.

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